1999-全国卷理-04 单-三角函数的单调区间

本题导读

本题考查正弦型与余弦型函数的单调性，以及整体相位的取值区间。

📌【题干】

Question

（1999年全国卷(理)） 函数 $f(x)=M\sin (\omega x+\phi )(\omega >0)$ 在区间 $[a,b]$ 上是增函数，且 $f(a)=-M,f(b)=M$，则函数 $g(x)=M\cos (\omega x+\phi )$ 在 $[a,b]$ 上()

A. 是增函数　　　　　　　　　　　　　　B. 是减函数

C. 可以取得最大值 $M$　　　　　　　　　　D. 可以取得最小值 $-M$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 分析正弦型函数相位范围：令整体相位 $t=\omega x+\phi$。因为 $\omega >0$，当 $x\in [a,b]$ 时，相位 $t$ 也是单调递增的，其区间为 $[\omega a+\phi ,\omega b+\phi ]$。
2. 利用最值确定相位范围：由 $f(x)$ 在该区间上是增函数，且在左端点 $a$ 处取得最小值 $-M$，在右端点 $b$ 处取得最大值 $M$，说明相位 $t$ 从正弦函数的最小值点递增到相邻的最大值点。由此可确定相位的区间为 $\left[-\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2}\right]$（或其周期整数倍平移）。
3. 转化到余弦型函数：函数 $g(x)=M\cos (\omega x+\phi )$ 共享相同的整体相位 $t$。在相位区间 $t\in \left[-\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2}\right]$ 上，分析余弦函数 $y=M\cos t$ 的单调性与最值，即可得出结论。

✅【答案】

Success

C

✍【详细解析】

Abstract

设整体相位变量为 $t=\omega x+\phi$。因为 $\omega >0$，所以当 $x$ 从 $a$ 增加到 $b$ 时，$t$ 随之从小到大变化，区间为 $[\omega a+\phi ,\omega b+\phi ]$。

由题意可知：

1. $f(x)=M\sin t$ 在该区间内单调递增；
2. 端点值满足 $f(a)=M\sin (\omega a+\phi )=-M$，即在左端点达到正弦型函数的最小值；
3. 端点值满足 $f(b)=M\sin (\omega b+\phi )=M$，即在右端点达到正弦型函数的最大值。

正弦函数单调递增且从最小值到最大值的区间为 $\left[-\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2}\right]$。 因此，当 $x\in [a,b]$ 时，对应的整体相位范围为： $\omega x+\phi \in \left[-\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2}\right]$

现在考察函数 $g(x)=M\cos (\omega x+\phi )$。令 $g(x)=M\cos t$，其中 $t\in \left[-\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2}\right]$。 余弦函数在 $\left[-\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2}\right]$ 上的单调性：

• 当 $t\in \left[-\frac{\pi }{2},0\right]$ 时，余弦函数单调递增；
• 当 $t\in \left[0,\frac{\pi }{2}\right]$ 时，余弦函数单调递减。 因此， $g(x)$ 在 $[a,b]$ 上不是单调函数，排除 A 和 B。

再看最值：

• 当 $t=0$（即处于该区间正中间）时，余弦函数取得最大值： $g(x{)}_{\max }=M\cos 0=M$
• 当 $t=\pm \frac{\pi }{2}$（即处于区间的两个端点）时，余弦函数取得其在该区间的最小值： $g(a)=M\cos \left(-\frac{\pi }{2}\right)=0,g(b)=M\cos \left(\frac{\pi }{2}\right)=0$

由此可知，函数 $g(x)$ 在该区间内可以取得最大值 $M$，而无法取得最小值 $-M$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：正弦型与余弦型函数的图象特征；整体代换思想在三角函数性质中的应用。
2. 核心方法：整体代换法。先确定相位 $\omega x+\phi$ 的范围，再代入目标函数判断单调性与最值。
3. 避坑指南：

• 极易凭借直观印象误以为“正弦增则余弦减”，从而错选 B。必须明确正弦增的区间 $\left[-\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2}\right]$ 在余弦函数的图象中正好跨越了 $y$ 轴（包含了一增一减两个单调区间）。
• 注意余弦函数在该区间内的最值：在 $\left[-\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2}\right]$ 上，余弦的最大值 $M$ 在中点 $t=0$ 处取得，并非在端点处。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：本题源自教材中“正弦函数、余弦函数的图象与性质”一节，考查整体相位 $\omega x+\phi$ 作为独立自变量的转化意识。
2. 结论推广：若正弦型函数 $f(x)=M\sin (\omega x+\phi )$ 在 $[a,b]$ 上单调，且两端点恰好对应两个最值，则对应相同相位的余弦型函数 $g(x)=M\cos (\omega x+\phi )$ 满足：

• 若 $f(x)$ 增，且由 $-M$ 到 $M$，则 $g(x)$ 先增后减，中点处取得最大值 $M$；
• 若 $f(x)$ 减，且由 $M$ 到 $-M$，则 $g(x)$ 先减后增，中点处取得最小值 $-M$。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 05.02 函数的四大性质
• 20.03 导数研究单调性与极值最值

类题演练 (Links)

• 2012-重庆卷文-13 填-余弦定理与正弦定理
• 2004-全国卷IV理-11 单-正弦定理与余弦定理
• 2005-全国卷III理-19 解-正弦定理与余弦定理