1999-全国卷文-23 解-冷轧机的数列模型

本题导读

本题考查等比数列与对数的实际应用。核心在于由减薄率建立等比关系，再由体积不变求疵点间距。

📌【题干】

Question

（1999年全国卷(文)） 如图为一台冷轧机的示意图.冷轧机由若干对轧辊组成，带钢从一端输入，经过各对轧辊逐步减薄后输出.

(1) 输入带钢的厚度为 $\alpha$，输出带钢的厚度为 $\beta$，若每对轧辊的减薄率不超过 $r_0$，问冷轧机至少需要安装多少对轧辊？（一对轧辊减薄率 $=\frac{\text{输入该对的带钢厚度}-\text{从该对输出的带钢厚度}}{\text{输入该对的带钢厚度}}$）

(2) 已知一台冷轧机共有 $4$ 对减薄率为 $20\%$ 的轧辊，所有轧辊周长均为 $1600\mathrm{mm}$.若第 $k$ 对轧辊有缺陷，每滚动一周在带钢上压出一个疵点，在冷轧机输出的带钢上，疵点的间距为 $L_k$.为了便于检修，请计算 $L_1$、$L_2$、$L_3$ 并填入下表（轧钢过程中，带钢宽度不变，且不考虑损耗）.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 由减薄率建立厚度等比递减关系，解对数不等式求轧辊数。
2. 由体积不变（宽度不变、无损耗）列 $1600\cdot t_k=L_k\cdot t_4$ 求 $L_k$。

✅【答案】

Success

(1) 至少 $\lceil \frac{\lg \beta -\lg \alpha }{\lg (1-r_0)}\rceil$ 对

(2) $L_1=3125\mathrm{mm}$，$L_2=2500\mathrm{mm}$，$L_3=2000\mathrm{mm}$

✍【详细解析】

Abstract

(1) 设安装 $n$ 对轧辊后带钢的厚度为 $t_n$。每对轧辊的减薄率不超过 $r_0$，所以每经过一对轧辊，厚度至少保留原来的 $1-r_0$，从而 $t_n\ge \alpha (1-r_0{)}^n$。要使带钢厚度能减薄到不超过 $\beta$，必须有 $\alpha (1-r_0{)}^n\le \beta$，即 $(1-r_0{)}^n\le \frac{\beta }{\alpha }$。由于 $0<1-r_0<1$，两边取对数并注意 $\lg (1-r_0)<0$，得 $n\ge \frac{\lg \beta -\lg \alpha }{\lg (1-r_0)}$。因此至少需要安装 $n_{\min }=\lceil \frac{\lg \beta -\lg \alpha }{\lg (1-r_0)}\rceil$ 对轧辊。 (2) 设带钢宽度为 $w$，第 $k$ 对轧辊出口处的厚度为 $t_k=\alpha (0.8{)}^k$。第 $k$ 对轧辊压出的两个相邻疵点之间的带钢长度为 $1600\mathrm{mm}$，其体积为 $1600t_{k}w$；经过第 $4$ 对轧辊后，这段带钢的长度为 $L_k$，厚度为 $t_4=\alpha (0.8{)}^4$，体积为 $L_k{t}_{4}w$。因轧钢过程不考虑损耗且带钢宽度不变，所以 $1600t_{k}w=L_k{t}_{4}w$，即 $L_k=1600\frac{t_k}{t_4}=1600\cdot (0.8{)}^{k-4}$。因此 $L_1=3125\mathrm{mm}$，$L_2=2500\mathrm{mm}$，$L_3=2000\mathrm{mm}$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：冷轧机的数列模型

核心方法：(1) $t_n\ge \alpha (1-r_0{)}^n$，需 $\alpha (1-r_0{)}^n\le \beta$，$n\ge \frac{\lg \beta -\lg \alpha }{\lg (1-r_0)}$，取整；；(2) $L_k=1600(0.8{)}^{k-4}$，故 $L_1=3125,L_2=2500,L_3=2000$

避坑指南：等比减薄 + 体积不变定间距

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：源于教材等比数列的实际应用

结论推广：一般地，体积不变定 $L_k=1600(0.8{)}^{k-4}$

方法推广：等比减薄体积不变

🔗【关联脉络】

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