1999-全国卷文-08 单-二项式展开系数的运算

本题导读

本题考查二项式展开式的系数，以及展开后代数式的化简求值。

📌【题干】

Question

（1999年全国卷(文)）若 $(2 x + 3)^{3} = a_{0} + a_{1} x + a_{2} x^{2} + a_{3} x^{3}$ ，则 $(a_{0} + a_{2})^{2} - (a_{1} + a_{3})^{2}$ 的值为()

A. $- 1$ 　　　　　　　B. $1$ 　　　　　　　C. $0$ 　　　　　　　D. $2$

🔍【思路分析】

破题导航

用立方公式展开左边。

读出 $a_{0}, a_{1}, a_{2}, a_{3}$ 再代入计算。

✅【答案】

Success

A

✍【详细解析】

Abstract

展开左边得 $(2 x + 3)^{3} = (2 x)^{3} + 3 (2 x)^{2} 3 + 3 (2 x) (3)^{2} + (3)^{3} = 8 x^{3} + 123 x^{2} + 18 x + 33$ 。所以 $a_{0} = 33$ ， $a_{1} = 18$ ， $a_{2} = 123$ ， $a_{3} = 8$ 。因而 $a_{0} + a_{2} = 153$ ， $a_{1} + a_{3} = 26$ ，所求值为 $(153)^{2} - 2 6^{2} = 675 - 676 = - 1$ ，选 A。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：二项式展开系数的运算

核心方法： $(2 x + 3)^{3} = 8 x^{3} + 123 x^{2} + 18 x + 33$ ， $a_{0} = 33, a_{1} = 18, a_{2} = 123, a_{3} = 8$ ， $(a_{0} + a_{2})^{2} - (a_{1} + a_{3})^{2} = (153)^{2} - 2 6^{2} = - 1$ ，选 A

避坑指南：展开后代入计算

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：源于教材二项式定理

结论推广：一般地， $(a + b)^{3} = a^{3} + 3 a^{2} b + 3 a b^{2} + b^{3}$

方法推广：展开代入计算

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

22.03 二项式定理全总结

类题演练 (Links)

2004-全国卷III文-06 单-二项式展开常数项

2005-浙江卷文-05 单-二项式定理指定项系数

2006-四川文-13 填-二项式展开系数

∑ ( Math )

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1999-全国卷文-08 单-二项式展开系数的运算

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