1999-全国卷文-06 单-圆的对称性

本题导读

本题考查圆的方程与对称性，以及由圆心判断对称轴。

📌【题干】

Question

（1999年全国卷(文)） 曲线 $x^2+y^2+2\sqrt{2}x-2\sqrt{2}y=0$ 关于()

A. 直线 $x=\sqrt{2}$ 轴对称　　　　　　　　　　B. 直线 $y=-x$ 轴对称

C. 点 $(-2,\sqrt{2})$ 中心对称　　　　　　　　　D. 点 $(-\sqrt{2},0)$ 中心对称

🔍【思路分析】

破题导航

1. 配方化为标准方程求圆心。
2. 圆关于过圆心的直线轴对称、关于圆心中心对称。

✅【答案】

Success

B

✍【详细解析】

Abstract

配方得 $x^2+y^2+2\sqrt{2}x-2\sqrt{2}y=0⟺(x+\sqrt{2}{)}^2+(y-\sqrt{2}{)}^2=4$，这是圆心为 $(-\sqrt{2},\sqrt{2})$、半径为 $2$ 的圆。圆关于过圆心的任一直线轴对称，点 $(-\sqrt{2},\sqrt{2})$ 在直线 $y=-x$ 上，因此该圆关于直线 $y=-x$ 轴对称；其余选项中的直线不过圆心，或所给点不是圆心，故选 B

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：圆的对称性

核心方法：配方得 $(x+\sqrt{2}{)}^2+(y-\sqrt{2}{)}^2=4$，圆心 $(-\sqrt{2},\sqrt{2})$ 在 $y=-x$ 上，选 B

避坑指南：配方定圆心再判对称轴

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：源于教材圆的方程与对称性

结论推广：一般地，圆关于过圆心的直线对称

方法推广：配方定圆心

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 17.01 圆的方程与圆系理论

类题演练 (Links)

• 2008-天津文-15 填-圆的对称与弦长
• 2010-湖南卷文-14 填-垂直平分线圆对称
• 2003-上海文-21 解-向量圆对称抛物线