1999-上海理-15 单-不等式成立与否的判断

本题导读

本题考查不等式性质的判断，核心在于用特值法逐项检验。

📌【题干】

Question

（1999年上海卷(理)） 若 $a<b<0$，则下列结论中正确的是()

A. 不等式 $\frac{1}{a}>\frac{1}{b}$ 和 $\frac{1}{|a|}>\frac{1}{|b|}$ 均不能成立

B. 不等式 $\frac{1}{a-b}>\frac{1}{a}$ 和 $\frac{1}{|a|}>\frac{1}{|b|}$ 均不能成立

C. 不等式 $\frac{1}{a-b}>\frac{1}{a}$ 和 ${\left(a+\frac{1}{b}\right)}^2>{\left(b+\frac{1}{a}\right)}^2$ 均不能成立

D. 不等式 $\frac{1}{|a|}>\frac{1}{|b|}$ 和 ${\left(a+\frac{1}{b}\right)}^2>{\left(b+\frac{1}{a}\right)}^2$ 均不能成立

🔍【思路分析】

破题导航

1. 取特值 $a=-2$，$b=-1$。
2. 逐项检验各不等式是否成立，找”均不能成立”的选项。

✅【答案】

Success

B

✍【详细解析】

Abstract

取 $a=-2$，$b=-1$（满足 $a<b<0$）。检验：$\frac{1}{a}=-\frac{1}{2}>\frac{1}{b}=-1$，故 $\frac{1}{a}>\frac{1}{b}$ 成立，A 错；$a-b=-1<0$，$\frac{1}{a-b}=-1<\frac{1}{a}=-\frac{1}{2}$，故 $\frac{1}{a-b}>\frac{1}{a}$ 不成立；又 $|a|=2>|b|=1$，$\frac{1}{|a|}=\frac{1}{2}<\frac{1}{|b|}=1$，故 $\frac{1}{|a|}>\frac{1}{|b|}$ 不成立，两项均不成立，B 正确；${\left(a+\frac{1}{b}\right)}^2=(-3{)}^2=9>{\left(b+\frac{1}{a}\right)}^2={\left(-\frac{3}{2}\right)}^2=\frac{9}{4}$，该不等式成立，故 C、D 中”均不能成立”的说法错误。综上选 B。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：不等式成立与否的判断

核心方法：$a<b<0$ 时 $a-b<0$，$\frac{1}{a-b}>\frac{1}{a}$ 不成立；$|a|>|b|$ 得 $\frac{1}{|a|}>\frac{1}{|b|}$ 不成立，B 正确

避坑指南：特值代入逐项检验

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：源于教材不等式的性质

结论推广：一般地，倒数不等号方向需同号讨论

方法推广：特值代入逐项检验

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 03.01 不等式解法体系

类题演练 (Links)

• 2005-重庆卷文-06 单-角与三角函数不等式的充要关系
• 2004-重庆文-14 填-基本不等式最值