1999-上海理-04 填-三角形面积的两解

本题导读

本题考查正弦定理解三角形的两解情形，以及三角形面积的计算。

📌【题干】

Question

（1999年上海卷(理)） 在 $△ABC$ 中，若 $\angle B=30^{\circ }$，$AB=2\sqrt{3}$，$AC=2$，则 $△ABC$ 的面积 $S$ 是　　　.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 由正弦定理 $\frac{AC}{\sin B}=\frac{AB}{\sin C}$ 求 $\sin C$。
2. $\sin C=\frac{\sqrt{3}}{2}$ 有两解，分别求面积。

✅【答案】

Success

$2\sqrt{3}$ 或 $\sqrt{3}$

✍【详细解析】

Abstract

由正弦定理 $\frac{AC}{\sin B}=\frac{AB}{\sin C}$，得 $\frac{2}{\sin 30^{\circ }}=\frac{2\sqrt{3}}{\sin C}$，即 $\sin C=\frac{\sqrt{3}}{2}$，故 $C=60^{\circ }$ 或 $C=120^{\circ }$。 当 $C=60^{\circ }$ 时，$A=90^{\circ }$，此时 $BC=4$，$S=\frac{1}{2}\cdot BC\cdot AC\cdot \sin C$ 亦可由两直角边直接得 $S=\frac{1}{2}\cdot 2\sqrt{3}\cdot 2=2\sqrt{3}$； 当 $C=120^{\circ }$ 时，$A=30^{\circ }$，$BC=AC=2$，$S=\frac{1}{2}\cdot AB\cdot BC\cdot \sin B=\frac{1}{2}\cdot 2\sqrt{3}\cdot 2\cdot \frac{1}{2}=\sqrt{3}$。 故 $S=2\sqrt{3}$ 或 $\sqrt{3}$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：三角形面积的两解

核心方法：正弦定理 $\frac{2}{\sin 30^{\circ }}=\frac{2\sqrt{3}}{\sin C}$ 得 $\sin C=\frac{\sqrt{3}}{2}$，$C=60^{\circ }$ 或 $120^{\circ }$，$S=2\sqrt{3}$ 或 $\sqrt{3}$

避坑指南：正弦定理两解讨论

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：源于教材正弦定理

结论推广：一般地，已知两边与其中一边对角可能有两解

方法推广：正弦定理两解讨论

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 11.04 三角形面积公式

类题演练 (Links)

• 2005-北京卷文-12 填-正弦定理解三角形
• 2005-湖北卷文-18 解-正弦定理解三角形求面积