1999-上海理-02 填-反函数的定义域

本题导读

本题考查反函数的定义域，以及原函数值域的求法。

📌【题干】

Question

（1999年上海卷(理)） 函数 $f(x)={\log }_{2}x+1$（$x⩾4$）的反函数 $f^{-1}(x)$ 的定义域是　　　.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 反函数的定义域是原函数的值域。
2. 由 $x\ge 4$ 求 ${\log }_{2}x+1$ 的范围。

✅【答案】

Success

$[3,+\infty )$

✍【详细解析】

Abstract

反函数 $f^{-1}(x)$ 的定义域是原函数 $f(x)$ 的值域。当 $x⩾4$ 时，${\log }_{2}x⩾{\log }_{2}4=2$，故 $f(x)={\log }_{2}x+1⩾3$，即原函数的值域为 $[3,+\infty )$。所以反函数的定义域是 $[3,+\infty )$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：反函数的定义域

核心方法：$x\ge 4$ 时值域 $y\ge {\log }_{2}4+1=3$，反函数定义域为原函数值域 $[3,+\infty )$

避坑指南：反函数定义域=原函数值域

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：源于教材反函数的概念

结论推广：一般地，反函数定义域是原函数值域

方法推广：先求值域再写定义域

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 05.01 函数的概念

类题演练 (Links)

• 1999-全国卷文-03 单-反函数值的求法
• 2002-上海卷文-12 填-反函数充要条件
• 2003-天津文-09 单-对数型反函数