1999-上海文-19 解-复数相等与模的范围

本题导读

本题考查复数相等的条件与复数模的取值范围。核心在于设 $z=a+bi$，由实部虚部分别相等求出 $z$，再把 $|z-w|$ 化为正弦型函数求范围。

📌【题干】

Question

（1999年上海卷(文)） 设复数 $z$ 满足 $4z+2\bar{z}=3\sqrt{3}+\mathrm{i}$，$w=\sin \theta -\mathrm{i}\cos \theta$（$\theta \in \mathbf{R}$），求 $z$ 的值和 $|z-w|$ 的取值范围.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 设 $z=a+bi$，代入 $4z+2\bar{z}=3\sqrt{3}+\mathrm{i}$，实部虚部分别相等求 $a,b$。
2. 计算 $|z-w|$，化为正弦型函数求范围。

✅【答案】

Success

$z=\frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{1}{2}\mathrm{i}$；$|z-w|\in [0,2]$

✍【详细解析】

Abstract

设 $z=a+bi$（$a,b\in \mathbf{R}$），则 $\bar{z}=a-bi$。于是 $4(a+bi)+2(a-bi)=3\sqrt{3}+\mathrm{i}$，即 $6a+2bi=3\sqrt{3}+\mathrm{i}$。比较实部、虚部得 $a=\frac{\sqrt{3}}{2}$，$b=\frac{1}{2}$，所以 $z=\frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{1}{2}\mathrm{i}$。 又 $|z-w|=\left|\frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{1}{2}\mathrm{i}-(\sin \theta -\mathrm{i}\cos \theta )\right|=\left|\left(\frac{\sqrt{3}}{2}-\sin \theta \right)+\left(\frac{1}{2}+\cos \theta \right)\mathrm{i}\right|=\sqrt{{\left(\frac{\sqrt{3}}{2}-\sin \theta \right)}^2+{\left(\frac{1}{2}+\cos \theta \right)}^2}$。 展开得 $\sqrt{\frac{3}{4}-\sqrt{3}\sin \theta +{\sin }^2\theta +\frac{1}{4}+\cos \theta +{\cos }^2\theta }=\sqrt{2-\sqrt{3}\sin \theta +\cos \theta }=\sqrt{2-2\sin \left(\theta -\frac{\pi }{6}\right)}$。 因为 $-1⩽\sin \left(\theta -\frac{\pi }{6}\right)⩽1$，所以 $0⩽|z-w|⩽2$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：复数相等与模的范围

核心方法：设 $z=a+bi$，由 $4(a+bi)+2(a-bi)=6a+2bi=3\sqrt{3}+i$ 得 $a=\frac{\sqrt{3}}{2},b=\frac{1}{2}$，$z=\frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{1}{2}i$；；$|z-w|=\sqrt{2-\sqrt{3}\sin \theta +\cos \theta }=\sqrt{2-2\sin (\theta -\frac{\pi }{6})}\in [0,2]$

避坑指南：设 $z=a+bi$ 实虚部分离 + 模的三角最值

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：源于教材复数的四则运算与模

结论推广：一般地，复数相等须实部虚部分别相等；$|z-w|$ 用 $z=a+bi$ 与 $w$ 的实虚部差求模，化为正弦型函数求范围

方法推广：设 $z=a+bi$ 实虚部分离 + 模的三角最值

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 12.01 数系的扩充与复数

类题演练 (Links)

• 2004-上海卷文-17 解-复数模与范围
• 2003-上海文-17 解-复数模最值
• 2008-广东文-02 单-复数模取值范围