1998-全国卷理-24 解-函数图象的平移与对称

本题导读

本题考查函数图象的平移与中心对称，涉及坐标变换法与代数证明。

📌【题干】

Question

（1998年全国卷(理)） 设曲线 $C$ 的方程是 $y=x^3-x$，将 $C$ 沿 $x$ 轴、$y$ 轴正向分别平行移动 $t$、$s$ 单位长度后得曲线 $C_1$.

(1) 写出曲线 $C_1$ 的方程；

(2) 证明曲线 $C$ 与 $C_1$ 关于点 $A\left(\frac{t}{2},\frac{s}{2}\right)$ 对称；

(3) 如果曲线 $C$ 与 $C_1$ 有且仅有一个公共点，证明 $s=\frac{t^3}{4}-t$ 且 $t\ne 0$.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 第(1)问思路：根据图象平移变换规律，沿 $x$ 轴正向平移 $t$ 个单位，方程中的 $x$ 替换为 $x-t$；沿 $y$ 轴正向平移 $s$ 个单位，方程中的 $y$ 替换为 $y-s$。
2. 第(2)问思路：设 $P(x,y)$ 是曲线 $C$ 上任意一点，它关于点 $A\left(\frac{t}{2},\frac{s}{2}\right)$ 的对称点为 $P_1(x_1,y_1)$。利用中点坐标公式将 $x,y$ 用 $x_1,y_1$ 表示，代入曲线 $C$ 的方程，若化简后的方程形式与 $C_1$ 一致，则结论得证。
3. 第(3)问思路：联立曲线 $C$ 与 $C_1$ 的方程消去 $y$，得到一个关于 $x$ 的三次方程。将方程移项并进行因式分解，提取出实根。要满足“有且仅有一个公共点”，对应的方程必有且仅有一个实根，从而要求剩余的二次方程无实根（即判别式 $\Delta <0$）或该二次方程的根与已知根重合。结合题意，最终得到所证关系式。

✅【答案】

Success

(1) $y=(x-t{)}^3-(x-t)+s$

(2) 曲线 $C$ 与 $C_1$ 关于点 $A\left(\frac{t}{2},\frac{s}{2}\right)$ 对称

(3) 证明见解析

✍【详细解析】

Abstract

(1)写出曲线 $C_1$ 的方程

根据曲线平移变换法则，将曲线 $C:y=x^3-x$ 沿 $x$ 轴正向平行移动 $t$ 个单位长度，沿 $y$ 轴正向平行移动 $s$ 个单位长度后，所得到的曲线 $C_1$ 的方程为： $y-s=(x-t{)}^3-(x-t)$ 即： $y=(x-t{)}^3-(x-t)+s$

(2)证明曲线 $C$ 与 $C_1$ 关于点 $A\left(\frac{t}{2},\frac{s}{2}\right)$ 对称

设 $P(x,y)$ 是曲线 $C$ 上任意一点，点 $P$ 关于点 $A\left(\frac{t}{2},\frac{s}{2}\right)$ 的对称点为 $P_1(x_1,y_1)$。 由中点坐标公式满足： $\frac{x+x_1}{2}=\frac{t}{2}⟹x=t-x_1$ $\frac{y+y_1}{2}=\frac{s}{2}⟹y=s-y_1$

将 $x=t-x_1$ 和 $y=s-y_1$ 代入曲线 $C$ 的方程 $y=x^3-x$ 中，得： $s-y_1=(t-x_1{)}^3-(t-x_1)$

整理得： $s-y_1=[-(x_1-t){]}^3-[-(x_1-t)]⟹s-y_1=-(x_1-t{)}^3+(x_1-t)$

移项整理得： $y_1=(x_1-t{)}^3-(x_1-t)+s$

此方程在形式上与第(1)问求得的曲线 $C_1$ 的方程一致。这说明点 $P_1(x_1,y_1)$ 必在曲线 $C_1$ 上。 同理可证，曲线 $C_1$ 上任意一点关于点 $A$ 的对称点也必然在曲线 $C$ 上。 综上所述，曲线 $C$ 与 $C_1$ 关于点 $A\left(\frac{t}{2},\frac{s}{2}\right)$ 对称。

(3)如果曲线 $C$ 与 $C_1$ 有且仅有一个公共点，证明 $s=\frac{t^3}{4}-t$ 且 $t\ne 0$

联立曲线 $C$ 与 $C_1$ 的方程消去 $y$： $x^3-x=(x-t{)}^3-(x-t)+s$

展开右侧的立方项与线性项： $x^3-x=(x^3-3t{x}^2+3t^{2}x-t^3)-x+t+s$

两边消去 $x^3-x$，移项整理： $3t{x}^2-3t^{2}x+(t^3-t-s)=0\text{(1)}$

要满足曲线 $C$ 与 $C_1$ 有且仅有一个公共点，等价于上述关于 $x$ 的方程有且仅有一个实数解。

• 若 $t=0$： 代入方程①得 $-s=0⟹s=0$。 此时 $t=0,s=0$，曲线 $C$ 与 $C_1$ 重合，它们有无数个公共点，与题意不符，故 $t\ne 0$。

• 若 $t\ne 0$： 方程①是一元二次方程。要使其有且仅有一个实数解，该方程的判别式 $\Delta$ 必须等于 0： $\Delta =(-3t^2{)}^2-4\times 3t\times (t^3-t-s)=0$ $\Delta =9t^4-12t(t^3-t-s)=0$

因为 $t\ne 0$，方程两边同时除以 $3t$ 得： $3t^3-4(t^3-t-s)=0$ 展开并化简： $3t^3-4t^3+4t+4s=0⟹-t^3+4t+4s=0$

移项解出 $s$： $4s=t^3-4t⟹s=\frac{t^3}{4}-t$

综上所述，若曲线 $C$ 与 $C_1$ 有且仅有一个公共点，则 $s=\frac{t^3}{4}-t$ 且 $t\ne 0$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：函数图象平移的代数规律；点对称图象变换的坐标关系；一元二次方程有且仅有一个实根与判别式 $\Delta =0$ 的对应关系。 核心方法：几何代数化。将图形交点的个数问题转化为代数方程根的个数问题。 避坑指南：

• 平移号写反：沿正方向移动时，应是减去相应的量（即 $x\to x-t,y\to y-s$），切勿错写成加号。
• 忽略二次项系数为0的讨论：在利用判别式 $\Delta =0$ 之前，必须先单独讨论二次项系数 $3t$ 是否为 0。若漏掉 $t\ne 0$ 的检验，在解答题评分中会酌情扣分。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：本题利用三次曲线考查平移和对称性质。三次曲线 $y=x^3-x$ 关于原点中心对称，平移后其对称中心也发生相应平移，第二问的几何实质是两条全等且均中心对称的曲线复合后新对称中心的确定。 结论推广：对于具有对称中心 $M(x_0,y_0)$ 的曲线 $y=f(x)$，若整体沿向量 $\vec{v}=(t,s)$ 平移得到新曲线 $C_1$，则曲线 $C$ 与 $C_1$ 关于点 $A=M+\frac{1}{2}\vec{v}=\left(x_0+\frac{t}{2},y_0+\frac{s}{2}\right)$ 对称。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 08.01 函数图象变换、模型与零点
• 16.05 对称性问题

类题演练 (Links)

• 1990-广东理-25 单-函数图象的平移与对称
• 2022-甲卷文-05 单-三角函数图象平移
• 2008-湖北文-07 单-图象平移与对称轴