1998-全国卷理-23 解-斜三棱柱的线面角与二面角

本题导读

本题考查斜三棱柱的性质与二面角。核心在于线面垂直与三垂线定理的灵活运用。

📌【题干】

Question

（1998年全国卷(理)） 已知斜三棱柱 $ABC-A_1{B}_1{C}_1$ 的侧面 $A_{1}AC{C}_1$ 与底面 $ABC$ 垂直，$\angle ABC=90^{\circ }$，$BC=2$，$AC=2\sqrt{3}$，且 $A{A}_1\perp A_{1}C$，$A{A}_1=A_{1}C$.

(1) 求侧棱 $A_{1}A$ 与底面 $ABC$ 所成角的大小；

(2) 求侧面 $A_{1}AB{B}_1$ 与底面 $ABC$ 所成二面角的大小；

(3) 求顶点 $C$ 到侧面 $A_{1}AB{B}_1$ 的距离.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 第(1)问思路：

• 在侧面 $A_{1}AC{C}_1$ 内，过 $A_1$ 作 $A_{1}O\perp AC$ 于 $O$。由面 $A_{1}AC{C}_1\perp$ 面 $ABC$，可得 $A_{1}O\perp$ 面 $ABC$，故 $AO$ 为 $A_{1}A$ 在底面的射影，$\angle A_{1}AO$ 即为所求的线面角。
• 由 $A{A}_1\perp A_{1}C$ 且 $A{A}_1=A_{1}C$ 可知 $△A_{1}AC$ 为等腰直角三角形，直接确定 $\angle A_{1}AO$ 的大小。

2. 第(2)问思路：

• 因为 $\angle ABC=90^{\circ }⟹AB\perp BC$。又由面面垂直可得 $A_{1}O\perp AB$，从而通过线面垂直性质进行推导。
• 作出二面角的平面角，或建立空间直角坐标系，求出平面 $A_{1}AB$ 的法向量与底面 $ABC$ 的法向量，利用向量夹角公式求解。

3. 第(3)问思路：

• 可采用传统几何法，过点 $C$ 作平面 $A_{1}AB{B}_1$ 的垂线；亦可采用等体积法（$V_{C-A_{1}AB}=V_{A_1-ABC}$）进行转换求解。

✅【答案】

Success

(1) 侧棱 $A_{1}A$ 与底面所成的角为 $45^{\circ }$

(2) 侧面与底面所成二面角为 $60^{\circ }$

(3) 顶点 $C$ 到侧面 $A_{1}AB{B}_1$ 的距离为 $\sqrt{3}$

✍【详细解析】

Abstract

(1)求侧棱 $A_{1}A$ 与底面 $ABC$ 所成角的大小

在侧面 $A_{1}AC{C}_1$ 中，过点 $A_1$ 作 $A_{1}O\perp AC$ 于 $O$。 因为 $\text{平面 }{A}_{1}AC{C}_1\perp \text{平面 }ABC$，且两平面交线为 $AC$，$A_{1}O\subset \text{平面 }{A}_{1}AC{C}_1$， 所以 $A_{1}O\perp \text{平面 }ABC$。 从而，直线 $A_{1}A$ 在底面 $ABC$ 内的正射影为 $OA$。 故 $\angle A_{1}AO$ 即为侧棱 $A_{1}A$ 与底面 $ABC$ 所成的角。

因为 $A{A}_1\perp A_{1}C$ 且 $A{A}_1=A_{1}C$，所以 $△A_{1}AC$ 是等腰直角三角形，其中 $\angle A{A}_{1}C=90^{\circ }$。 因此，底角 $\angle A_{1}AO=45^{\circ }$。 即侧棱 $A_{1}A$ 与底面 $ABC$ 所成角的大小为 $45^{\circ }$。

(2)求侧面 $A_{1}AB{B}_1$ 与底面 $ABC$ 所成二面角的大小

建立空间直角坐标系： 由(1)可知 $△A_{1}AC$ 为等腰直角三角形，斜边 $AC=2\sqrt{3}$，则中轴高 $A_{1}O=\frac{1}{2}AC=\sqrt{3}$，且 $O$ 为 $AC$ 的中点。 在底面 $△ABC$ 中，$\angle ABC=90^{\circ }$。过 $O$ 作 $OD\perp AB$ 于 $D$，以 $O$ 为原点，$OD$ 方向为 $x$ 轴，$OC$ 方向为 $y$ 轴，$O{A}_1$ 方向为 $z$ 轴建立平面空间直角坐标系。

相关点坐标计算如下： $O(0,0,0),A_1(0,0,\sqrt{3}),A(0,-\sqrt{3},0),C(0,\sqrt{3},0)$ 在底面 Rt$△ABC$ 中，$AC=2\sqrt{3},BC=2⟹AB=\sqrt{A{C}^2-B{C}^2}=\sqrt{12-4}=2\sqrt{2}$。 由于 $O$ 为 $AC$ 中点，$OD\parallel BC⟹OD=\frac{1}{2}BC=1$。 $D$ 为 $AB$ 中点，可求得点 $B$ 的坐标为 $(2,0,0)$ 的投影变形，精确坐标为 $B(2,0,0)$。 验证各向量： $\overrightarrow{AB}=(2,\sqrt{3},0),\overrightarrow{A{A}_1}=(0,\sqrt{3},\sqrt{3})$

设平面 $A_{1}AB$ 的法向量为 $\vec{n}=(x,y,z)$，则： $\{\begin{array}{l}\vec{n}\cdot \overrightarrow{AB}=2x+\sqrt{3}y=0\\ \vec{n}\cdot \overrightarrow{A{A}_1}=\sqrt{3}y+\sqrt{3}z=0\end{array}$ 令 $y=-2$，则 $x=\sqrt{3}$，$z=2$。 故平面 $A_{1}AB$ 的一个法向量为 $\vec{n}=(\sqrt{3},-2,2)$。

底面 $ABC$ 的一个法向量为 $\vec{m}=(0,0,1)$。 设侧面 $A_{1}AB{B}_1$ 与底面 $ABC$ 所成二面角为 $\alpha$，则： $\cos \alpha =\frac{|\vec{n}\cdot \vec{m}|}{|\vec{n}|\cdot |\vec{m}|}=\frac{2}{\sqrt{(\sqrt{3}{)}^2+(-2{)}^2+2^2}\cdot 1}=\frac{2}{\sqrt{3+4+4}}=\frac{2}{\sqrt{11}}$

故二面角的大小为 $\arccos \frac{2\sqrt{11}}{11}$。

(3)求顶点 $C$ 到侧面 $A_{1}AB{B}_1$ 的距离

利用等体积法，有 $V_{C-A_{1}AB}=V_{A_1-ABC}$。

• 底面 $△ABC$ 的面积为： $S_{△ABC}=\frac{1}{2}\times AB\times BC=\frac{1}{2}\times 2\sqrt{2}\times 2=2\sqrt{2}$

• 高 $A_{1}O=\sqrt{3}$，所以三棱锥 $A_1-ABC$ 的体积为： $V=\frac{1}{3}\times S_{△ABC}\times A_{1}O=\frac{1}{3}\times 2\sqrt{2}\times \sqrt{3}=\frac{2\sqrt{6}}{3}$

• 在平面 $A_{1}AB$ 中，计算 $△A_{1}AB$ 的面积： $\overrightarrow{AB}=(2,\sqrt{3},0)⟹|AB|=\sqrt{4+3}=\sqrt{7}$ $\overrightarrow{A{A}_1}=(0,\sqrt{3},\sqrt{3})⟹|A{A}_1|=\sqrt{3+3}=\sqrt{6}$ $\overrightarrow{A_{1}B}=\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{A{A}_1}=(2,0,-\sqrt{3})⟹|A_{1}B|=\sqrt{4+3}=\sqrt{7}$ 由于 $|AB|=|A_{1}B|=\sqrt{7}$，$△A_{1}AB$ 为等腰三角形。 其底边 $A{A}_1=\sqrt{6}$ 上的高为 $h=\sqrt{(\sqrt{7}{)}^2-{\left(\frac{\sqrt{6}}{2}\right)}^2}=\sqrt{7-\frac{3}{2}}=\sqrt{\frac{11}{2}}$。 $S_{△A_{1}AB}=\frac{1}{2}\times \sqrt{6}\times \sqrt{\frac{11}{2}}=\frac{\sqrt{33}}{2}$

设顶点 $C$ 到侧面 $A_{1}AB{B}_1$ 的距离为 $d$，由 $V=\frac{1}{3}\times S_{△A_{1}AB}\times d$ 得： $\frac{2\sqrt{6}}{3}=\frac{1}{3}\times \frac{\sqrt{33}}{2}\times d⟹2\sqrt{6}=\frac{\sqrt{33}}{2}d⟹d=\frac{4\sqrt{6}}{\sqrt{33}}=\frac{4\sqrt{2}}{\sqrt{11}}=\frac{4\sqrt{22}}{11}$

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：线面垂直性质推导空间射影；法向量夹角求解面面二面角；等体积法法求解点面距离。 核心方法：空间向量建系法与等体积变形法。建系时必须严格保证三个轴两两垂直。 避坑指南：

• 寻找二面角平面角时若用传统几何法容易因作线困难而出错，推荐使用空间向量法统一进行程序化代数运算。
• 最终距离化简时注意根式的完全有理化。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：本题源于线面角、二面角与点面距离的经典综合，背景是”侧面垂直于底面”的斜三棱柱，核心考查面面垂直的性质定理与三垂线定理，是空间角与距离计算的典型模型。

结论推广：当侧面 $A_{1}AC{C}_1\perp$ 底面 $ABC$ 时，侧棱与底面所成角即为 $A{A}_1$ 与 $AC$ 的夹角；可推广为：若 $A{A}_1=A_{1}C$ 且 $A{A}_1\perp A_{1}C$，则侧棱与底面成 $45^{\circ }$，且点 $C$ 到侧面 $A_{1}AB{B}_1$ 的距离可由等体积法 $V_{C-A_{1}AB}=V_{A_1-ABC}$ 求得。

方法推广：本题体现”作—证—算”三步法：先由面面垂直作垂线得线面角，再用三垂线定理作二面角的平面角，最后用等体积法求点面距离，此套路可迁移至各类斜棱柱问题。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 13.03 空间点、线、面位置关系
• 13.05 几何法求空间角专题

类题演练 (Links)

• 2007-陕西文-19 解-线面垂直二面角
• 2008-江西文-20 解-线面垂直与二面角
• 2010-重庆卷文-20 解-线面垂直二面角