1998-全国卷理-19 填-三角函数的对称性命题

本题导读

本题考查三角函数的周期性与对称性，以及诱导公式。

📌【题干】

Question

（1998年全国卷(理)） 关于函数 $f(x)=4\sin \left(2x+\frac{\pi }{3}\right)(x\in \mathbb{R})$，有下列命题： ① 由 $f(x_1)=f(x_2)=0$ 可得 $x_1-x_2$ 必是 $\pi$ 的整数倍； ② $y=f(x)$ 的表达式可改写为 $y=4\cos \left(2x-\frac{\pi }{6}\right)$； ③ $y=f(x)$ 的图象关于点 $\left(-\frac{\pi }{6},0\right)$ 对称； ④ $y=f(x)$ 的图象关于直线 $x=-\frac{\pi }{6}$ 对称. 其中正确命题的序号是 $\underline{}$.（注：把你认为正确的命题的序号都填上）

🔍【思路分析】

破题导航

1. 校验命题①：计算函数的周期 $T$。相邻两个零点之间的距离为半周期 $\frac{T}{2}$，分析任意两个零点之间的距离是否必须为全周期的整数倍。
2. 校验命题②：利用诱导公式 \sin\alpha = \cos\left(\frac{\pi}{2} - \alpha\) 或 \(\cos\beta = \sin\left(\frac{\pi}{2} + \beta\right)，对余弦表达式进行变形，验证是否能还原为原正弦函数。
3. 校验命题③与④：

• 将 $x=-\frac{\pi }{6}$ 代入整体相位 $\omega x+\phi$ 中。

• 若计算结果为 $k\pi (k\in \mathbb{Z})$，则该点为对称中心，命题③正确，命题④错误。

• 若计算结果为 $k\pi +\frac{\pi }{2}(k\in \mathbb{Z})$，则该线为对称轴，命题④正确，命题③错误。

✅【答案】

Success

$2,3$

✍【详细解析】

Abstract

已知函数为 $f(x)=4\sin \left(2x+\frac{\pi }{3}\right)$，其最小正周期 $T=\frac{2\pi }{2}=\pi$。

• 验证命题①： 令 $f(x)=0⟹2x+\frac{\pi }{3}=k\pi ⟹x=\frac{k\pi }{2}-\frac{\pi }{6}(k\in \mathbb{Z})$。 设 $x_1=\frac{k_1\pi }{2}-\frac{\pi }{6}$，$x_2=\frac{k_2\pi }{2}-\frac{\pi }{6}$，则： $x_1-x_2=(k_1-k_2)\frac{\pi }{2}$ 由于 $k_1-k_2$ 为整数，说明 $x_1-x_2$ 是 $\frac{\pi }{2}$ 的整数倍，而不一定是 $\pi$ 的整数倍（例如相邻两个零点的间距为 $\frac{\pi }{2}$）。故①错误。

• 验证命题②： 利用诱导公式 $\cos \theta =\sin \left(\frac{\pi }{2}+\theta \right)$，对给出的余弦式进行转换： $4\cos \left(2x-\frac{\pi }{6}\right)=4\sin \left[\frac{\pi }{2}+\left(2x-\frac{\pi }{6}\right)\right]=4\sin \left(2x+\frac{\pi }{2}-\frac{\pi }{6}\right)=4\sin \left(2x+\frac{\pi }{3}\right)$ 变换后的结果与原函数一致。故②正确。

• 验证命题③与④： 将 $x=-\frac{\pi }{6}$ 代入原函数的相位中： $\omega x+\phi =2\times \left(-\frac{\pi }{6}\right)+\frac{\pi }{3}=-\frac{\pi }{3}+\frac{\pi }{3}=0$ 因为当相位等于 $0$（或 $k\pi$）时，正弦值 $f\left(-\frac{\pi }{6}\right)=4\sin 0=0$。 正弦曲线穿过零点的位置是对称中心，而不是对称轴。 因此，图象关于点 $\left(-\frac{\pi }{6},0\right)$ 中心对称，而不是关于直线 $x=-\frac{\pi }{6}$ 轴对称。故③正确，④错误。

综上所述，正确的命题序号是 ②、③。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：正弦型函数的零点间距为 $\frac{T}{2}$；诱导公式的应用；对称中心满足 $\omega x+\phi =k\pi$，对称轴满足 $\omega x+\phi =k\pi +\frac{\pi }{2}$。 核心方法：整体代入法。在判断对称性时，直接把待测点的横坐标代入相位中，根据计算出的特殊角给出结论。 避坑指南：

• 混淆周期与半周期：命题①极易因主观直觉误判为正确。必须明确任意两个零点的距离包含相邻零点，其最小单位是半周期 $\frac{\pi }{2}$。
• 轴对称与中心对称位置颠倒：当 $f(x_0)=0$ 时，点 $(x_0,0)$ 是中心对称点，不能将其看作是对称轴。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：本题综合考查三角函数的图象与性质及诱导公式，是高考填空题中考查三角函数性质的常见题型。 结论推广：对于任意正弦型函数 $y=A\sin (\omega x+\phi )$：

• 它的所有对称中心横坐标满足：$x=\frac{k\pi -\phi }{\omega }(k\in \mathbb{Z})$；
• 它的所有对称轴方程满足：$x=\frac{k\pi +\frac{\pi }{2}-\phi }{\omega }(k\in \mathbb{Z})$。 利用这两个通式，可判断任一对称中心或对称轴。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 05.02 函数的四大性质
• 07.02 三角函数的定义与诱导公式

类题演练 (Links)

• 2006-湖北卷理-16 解-三角函数的周期、最值与对称性
• 2014-上海卷文-01 填-三角函数周期
• 1989-广东文-19 单-三角函数的最小正周期