1998-全国卷理-13 单-球面距离

本题导读

本题考查球面距离的概念，以及球的截面圆性质。

📌【题干】

Question

（1998年全国卷(理)） 球面上有 3 个点，其中任意两点的球面距离都等于大圆周长的 $\frac{1}{6}$，经过这 3 个点的小圆的周长为 $4\pi$，那么这个球的半径为()

A. $4\sqrt{3}$　　　　　　　B. $2\sqrt{3}$　　　　　　　C. 2　　　　　　　D. $\sqrt{3}$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 转化球面距离为空间弦长：设球的半径为 $R$，球心为 $O$。由任意两点的球面距离等于大圆周长的 $\frac{1}{6}$，可求得这两点与球心连线所成的角（圆心角），进而在等腰三角形中求出这两点间的空间直线距离（即空间弦长）。
2. 分析小圆基本量：这 3 个点构成的三角形是一个等边三角形，且该三角形内接于经过这 3 个点的小圆。已知小圆周长，可求出小圆的半径 $r$。
3. 结合正弦定理求解：由等边三角形的边长（空间弦长）与外接圆（小圆）半径 $r$ 的几何关系，建立关于球半径 $R$ 的方程，从而求得 $R$。

✅【答案】

Success

B

✍【详细解析】

Abstract

设球的半径为 $R$，球心为 $O$，这 3 个点分别为 $A,B,C$。

• 第一步：由球面距离求空间弦长 球的大圆周长为 $2\pi R$。由题意，任意两点（如 $A$ 和 $B$）的球面距离（即大圆弧长 $\widehat{AB}$）为： $\widehat{AB}=\frac{1}{6}\times 2\pi R=\frac{\pi R}{3}$ 根据弧长公式 $s=R\theta$，点 $A,B$ 对球心 $O$ 所张的圆心角 $\angle AOB$ 为： $\theta =\frac{\frac{\pi R}{3}}{1}/R=\frac{\pi }{3}=60^{\circ }$ 在 $△AOB$ 中，$OA=OB=R$ 且 $\angle AOB=60^{\circ }$，因此 $△AOB$ 是等边三角形。 所以，这 3 个点两两之间的空间直线距离（弦长）为： $AB=BC=CA=R$ 即 $△ABC$ 是一个边长为 $R$ 的空间等边三角形。

• 第二步：由小圆周长求小圆半径 设经过这 3 个点的小圆半径为 $r$。已知小圆的周长为 $4\pi$，有： $2\pi r=4\pi ⟹r=2$

• 第三步：利用外接圆性质建立方程求解 $△ABC$ 内接于该截面小圆，故小圆半径 $r$ 即为等边 $△ABC$ 的外接圆半径。 根据正弦定理，在 $△ABC$ 中满足： $\frac{AB}{\sin 60^{\circ }}=2r$ 将 $AB=R$ 和 $r=2$ 代入上式中： $\frac{R}{\frac{\sqrt{3}}{2}}=2\times 2⟹\frac{2R}{\sqrt{3}}=4$ 解得球的半径 $R$ 为： $R=\frac{4\sqrt{3}}{2}=2\sqrt{3}$

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：球面距离的实质是大圆的劣弧长；球的截面圆半径与内接三角形外接圆半径的等价性。 核心方法：空间问题平面化。将球面的弧长关系转化为空间多面体的棱长关系，再投影到截面小圆所在的平面几何图形中进行解决。 避坑指南：

• 混淆弧长与弦长：极易把球面距离直接当作空间直线距离。必须通过圆心角 $60^{\circ }$ 完成由“曲”到“直”的跨越。
• 混淆小圆半径与球心距关系：通常的球体问题需要用到直角三角形勾股定理 $R^2=r^2+d^2$（$d$ 为球心到截面的距离）。但本题中，弦长 $AB$ 恰好等于 $R$，通过正弦定理直接在一阶段建立了 $R$ 与 $r$ 的联系，无需再去求球心距 $d$，应避免做无效多余推导。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：本题主要考查教材中“球的性质”关于球面距离与小圆外接多面体的经典综合推演。该模型是后续考查“正多面体外接球”和“空间航线最短距离”等高阶题型的核心基石。 结论推广：若球面上三点两两之间的球面距离均等于大圆周长的 $\frac{1}{n}$，则它们对球心所张的圆心角为 $\theta =\frac{2\pi }{n}$，对应的空间等边三角形边长为 $a=2R\sin \frac{\pi }{n}$。该三角形的外接小圆半径为 $r=\frac{a}{\sqrt{3}}=\frac{2R}{\sqrt{3}}\sin \frac{\pi }{n}$。 由此可得球半径 $R$ 与小圆半径 $r$ 的一般性普适关系公式： $R=\frac{\sqrt{3}r}{2\sin \frac{\pi }{n}}$ 本题中 $n=6$，代入得 $R=\frac{\sqrt{3}\times 2}{2\sin 30^{\circ }}=\frac{2\sqrt{3}}{2\times \frac{1}{2}}=2\sqrt{3}$。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 17.01 圆的方程与圆系理论
• 11.01 正弦定理

类题演练 (Links)

• 2004-全国卷II理-07 单-球面距离
• 2005-山东卷理-08 单-球面距离与弧长公式
• 1965-全国-03 解-球面距离