1998-全国卷理-12 单-椭圆的焦半径

本题导读

本题考查椭圆的第一定义，以及焦半径公式。

📌【题干】

Question

（1998年全国卷(理)） 椭圆 $\frac{x^2}{12}+\frac{y^2}{3}=1$ 的焦点为 $F_1$ 和 $F_2$，点 $P$ 在椭圆上，如果线段 $P{F}_1$ 的中点在 $y$ 轴上，那么 $|P{F}_1|$ 是 $|P{F}_2|$ 的()

A. 7 倍　　　　　B. 5 倍　　　　　C. 4 倍　　　　　D. 3 倍

🔍【思路分析】

破题导航

1. 求出基本几何量：从椭圆方程中解出 $a^2,b^2$，进而通过 $c^2=a^2-b^2$ 计算出半焦距 $c$，写出焦点 $F_1,f_2$ 的坐标。
2. 利用中点特征转化：设点 $P(x_0,y_0)$。已知 $F_1$ 为左焦点，线段 $P{F}_1$ 的中点在 $y$ 轴上，说明中点的横坐标为 0。根据中点坐标公式，可得 $x_0+x_{F_1}=0$，从而求出点 $P$ 的横坐标 $x_0$。
3. 计算焦半径并求比值：利用椭圆的第一定义 $|P{F}_1|+|P{F}_2|=2a$ 或焦半径公式 $|P{F}_1|=a+e{x}_0$ 与 $|P{F}_2|=a-e{x}_0$，求出两线段的长度，最后计算倍数关系。

✅【答案】

Success

A

✍【详细解析】

Abstract

由椭圆的标准方程 $\frac{x^2}{12}+\frac{y^2}{3}=1$ 可知： $a^2=12⟹a=2\sqrt{3}$ $b^2=3$ 所以： $c^2=a^2-b^2=12-3=9⟹c=3$

其左焦点为 $F_1(-3,0)$，右焦点为 $F_2(3,0)$，离心率 $e=\frac{c}{a}=\frac{3}{2\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{3}}{2}$。

设椭圆上点 $P$ 的坐标为 $(x_0,y_0)$。 因为线段 $P{F}_1$ 的中点在 $y$ 轴上，根据 $y$ 轴上点的横坐标为 $0$，由中点坐标公式得： $\frac{x_0+(-3)}{2}=0⟹x_0=3$

根据椭圆的焦半径公式，焦点在 $x$ 轴上的椭圆上任意一点 $P(x_0,y_0)$ 到左、右焦点的距离分别为： $|P{F}_1|=a+e{x}_0=2\sqrt{3}+\frac{\sqrt{3}}{2}\times 3=2\sqrt{3}+\frac{3\sqrt{3}}{2}=\frac{7\sqrt{3}}{2}$ $|P{F}_2|=a-e{x}_0=2\sqrt{3}-\frac{\sqrt{3}}{2}\times 3=2\sqrt{3}-\frac{3\sqrt{3}}{2}=\frac{\sqrt{3}}{2}$

（或直接由椭圆第一定义得：$|P{F}_2|=2a-|P{F}_1|=4\sqrt{3}-\frac{7\sqrt{3}}{2}=\frac{\sqrt{3}}{2}$）

计算两线段的比值： $\frac{|P{F}_1|}{|P{F}_2|}=\frac{\frac{7\sqrt{3}}{2}}{\frac{\sqrt{3}}{2}}=7$

所以 $|P{F}_1|$ 是 $|P{F}_2|$ 的 7 倍。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：椭圆性质中基本量 $a,b,c,e$ 的互求；中点性质坐标化；焦半径公式（$|P{F}_{1,2}|=a\pm e{x}_0$）。 核心方法：坐标代数法与几何定义结合法。本题通过中点直接锁定点 $P$ 的横坐标，再代入焦半径公式，可完美避开求解复杂的纵坐标 $y_0$。 避坑指南：

• 勿进行无效代数运算。很多考生在求出 $x_0=3$ 后，习惯性地将其代入椭圆方程去求 $y_0$，再利用两点间距离公式去算 $|P{F}_1|$。这种作法计算量极大且容易算错。应优先考虑利用椭圆第一定义和焦半径公式处理距离。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：本题出自教材中“椭圆的几何性质”关于焦半径性质的延伸。作为选择题的最后一题，主要考查解析几何中“算理”的优化（即如何选择最简路线完成计算）。 结论推广：在椭圆 $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1(a>b>0)$ 中，$F_1$ 为左焦点，若椭圆上一点 $P$ 满足线段 $P{F}_1$ 的中点在 $y$ 轴上，则恒有：

• 点 $P$ 的横坐标为 $x_0=c$（即点 $P$ 与右焦点 $F_2$ 的横坐标相同，此时 $P{F}_2\perp x$ 轴，属于椭圆的通径端点位置）。
• 此时左、右焦半径长度分别为 $|P{F}_1|=a+\frac{c^2}{a}$，$|P{F}_2|=a-\frac{c^2}{a}=\frac{b^2}{a}$。
• 两焦半径的比值为：$\frac{|P{F}_1|}{|P{F}_2|}=\frac{a^2+c^2}{b^2}=\frac{2a^2-b^2}{b^2}$。 本题中 $a^2=12,b^2=3$，代入直接秒杀：$\frac{2\times 12-3}{3}=\frac{21}{3}=7$ 倍。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 18.01 椭圆专题全总结

类题演练 (Links)

• 1987-上海-27 解-椭圆的焦半径与距离
• 2004-湖南理-16 填-椭圆的几何性质与焦半径公式
• 2005-辽宁卷-21 解-椭圆的定义与焦半径公式