1998-全国卷理-04 单-两直线垂直的充要条件

本题导读

本题考查两条直线垂直的充要条件，以及方向向量与内积的判定。

📌【题干】

Question

（1998年全国卷(理)）两条直线 $A_{1} x + B_{1} y + C_{1} = 0$ , $A_{2} x + B_{2} y + C_{2} = 0$ 垂直的充要条件是()

A. $A_{1} A_{2} + B_{1} B_{2} = 0$ 　　　　　　　　　　　　B. $A_{1} A_{2} - B_{1} B_{2} = 0$

C. $\frac{A _{1} A _{2}}{B _{1} B _{2}} = - 1$ 　　　　　　　　　　　　　D. $\frac{B _{1} B _{2}}{A _{1} A _{2}} = 1$

🔍【思路分析】

破题导航

回顾法向量特征：直线 $A_{1} x + B_{1} y + C_{1} = 0$ 的一个法向量为 $n_{1} = (A_{1}, B_{1})$ ；直线 $A_{2} x + B_{2} y + C_{2} = 0$ 的一个法向量为 $n_{2} = (A_{2}, B_{2})$ 。

利用向量垂直判定：两直线垂直等价于它们的法向量互相垂直。

转化为坐标运算：根据向量垂直的充要条件（数量积为0），计算 $n_{1} \cdot n_{2} = 0$ ，直接得出系数之间应满足的代数式，避免了对斜率是否存在的讨论。

✅【答案】

Success

A

✍【详细解析】

Abstract

方法一：法向量法（最为严谨通用） 直线 $l_{1} : A_{1} x + B_{1} y + C_{1} = 0$ 的法向量为 $n_{1} = (A_{1}, B_{1})$ 。直线 $l_{2} : A_{2} x + B_{2} y + C_{2} = 0$ 的法向量为 $n_{2} = (A_{2}, B_{2})$ 。

两直线垂直 $l_{1} ⊥ l_{2}$ 的充要条件是它们的法向量垂直，即 $n_{1} ⊥ n_{2}$ 。根据平面向量垂直的坐标表示，满足： $n_{1} \cdot n_{2} = 0 ⟹ A_{1} A_{2} + B_{1} B_{2} = 0$

方法二：斜率法（需考虑全面）

当两直线斜率均存在时（即 $B_{1} \neq = 0$ 且 $B_{2} \neq = 0$ ）， $l_{1}$ 的斜率 $k_{1} = - \frac{A _{1}}{B _{1}}$ ， $l_{2}$ 的斜率 $k_{2} = - \frac{A _{2}}{B _{2}}$ 。两直线垂直的充要条件是 $k_{1} \cdot k_{2} = - 1$ ，即： $(- \frac{A _{1}}{B _{1}}) \cdot (- \frac{A _{2}}{B _{2}}) = - 1 ⟹ \frac{A _{1} A _{2}}{B _{1} B _{2}} = - 1 ⟹ A_{1} A_{2} + B_{1} B_{2} = 0$

当其中一条直线斜率不存在时（如 $B_{1} = 0$ ，由于是直线，则 $A_{1} \neq = 0$ ），此时直线 $l_{1}$ 垂直于 $x$ 轴。要使 $l_{1} ⊥ l_{2}$ ，直线 $l_{2}$ 必须平行于 $x$ 轴，即其斜率为 $0$ ，从而 $A_{2} = 0$ 。将 $B_{1} = 0$ 和 $A_{2} = 0$ 代入等式 $A_{1} A_{2} + B_{1} B_{2} = A_{1} \cdot 0 + 0 \cdot B_{2} = 0$ ，等式依然成立。

综上所述，无需分类讨论的统一直线垂直充要条件为 $A_{1} A_{2} + B_{1} B_{2} = 0$ 。而选项 C、D 默认分母不为 0，排除了斜率不存在或为 0 的特殊位置情况，不能作为充要条件。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：直线一般式下两直线垂直的完备充要条件形式 $A_{1} A_{2} + B_{1} B_{2} = 0$ 。 核心方法：向量法。解析几何中处理平行与垂直时，利用方向向量或法向量进行代数表达，具有无需讨论边界、逻辑简练的优势。 避坑指南：

极易错选 C。必须要明确 $k_{1} \cdot k_{2} = - 1$ 仅在两直线斜率都存在时才适用。若有一条直线无斜率（如 $x = 0$ ）而另一条直线斜率为 $0$ （如 $y = 0$ ），它们互相垂直，但不能写成分式形式。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：本题直接源于教材中“两条直线垂直的条件”这一基础定理的结论直接考查，属于概念型明晰题。 结论推广：

对于两条一般式直线，垂直的充要条件是 $A_{1} A_{2} + B_{1} B_{2} = 0$ ；

平行的充要条件是 $A_{1} B_{2} - A_{2} B_{1} = 0$ 且 $A_{1} C_{2} - A_{2} C_{1} \neq = 0$ （或 $B_{1} C_{2} - B_{2} C_{1} \neq = 0$ ）。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

16.03 两条直线的位置关系判定

02.01 常用逻辑用语

类题演练 (Links)

2005-北京卷文-03 单-直线垂直充要条件

2008-福建文-02 单-充要条件与直线垂直

2006-全国卷I文-20 解-异面直线垂直线面角

∑ ( Math )

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1998-全国卷理-04 单-两直线垂直的充要条件

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