1998-全国卷理-03 单-极坐标方程化直角坐标

本题导读

本题考查极坐标方程与直角坐标方程的互化，以及圆的标准方程。

📌【题干】

Question

（1998年全国卷(理)） 曲线的极坐标方程 $\rho =4\sin \theta$ 化成直角坐标方程为()

A. $x^2+(y+2{)}^2=4$　　　　　　　　　　B. $x^2+(y-2{)}^2=4$

C. $(x-2{)}^2+y^2=4$　　　　　　　　　　D. $(x+2{)}^2+y^2=4$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 建立转换桥梁：回顾极坐标与直角坐标的转换公式：$x=\rho \cos \theta$，$y=\rho \sin \theta$，${\rho }^2=x^2+y^2$。
2. 方程两边同乘 $\rho$：已知方程为 $\rho =4\sin \theta$，两边同乘以 $\rho$ 得到 ${\rho }^2=4\rho \sin \theta$，以便利用转换公式。
3. 代入化简与配方：将直角坐标变量代入，移项并进行配方，化为圆的标准方程，从而匹配正确选项。

✅【答案】

Success

B

✍【详细解析】

Abstract

已知曲线的极坐标方程为： $\rho =4\sin \theta$

在方程两边同时乘以 $\rho$ 得： ${\rho }^2=4\rho \sin \theta$

将极坐标与直角坐标的互化公式 ${\rho }^2=x^2+y^2$ 和 $\rho \sin \theta =y$ 代入上式，得直角坐标方程为： $x^2+y^2=4y$

移项得： $x^2+y^2-4y=0$

对涉及 $y$ 的项进行配方： $x^2+(y^2-4y+4)=4⟹x^2+(y-2{)}^2=4$

此方程表示一个以 $(0,2)$ 为圆心，半径为 $2$ 的圆。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：核心转换关系 ${\rho }^2=x^2+y^2$ 与 $\rho \sin \theta =y$ 的直接应用。 核心方法：构造项。极坐标方程中若单独出现 $\sin \theta$ 或 $\cos \theta$，通常通过两边同乘以 $\rho$ 的方法，将其凑成 $\rho \sin \theta$ 或 $\rho \cos \theta$。 避坑指南：

• 移项配方时注意正负号。$y^2-4y=0$ 配方后为 $(y-2{)}^2=4$，容易在符号上疏忽而误选 A。
• 认清三角函数对应的坐标轴：$\sin \theta$ 对应 $y$ 轴（上下分布），$\cos \theta$ 对应 $x$ 轴（左右分布）。本题为 $\sin \theta$，对应的圆心必在 $y$ 轴上，可直接排除 C 和 D。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：本题属于教材中“极坐标与柱坐标系”的标准基础例题。作为高考中关于坐标系与参数方程交汇的标准起点，考查了解析几何中的代数翻译能力。 结论推广：在极坐标系中，方程 $\rho =2R\sin \theta$（其中 $R>0$）恒表示一个圆心在 $y$ 轴正半轴上、圆心坐标为 $(0,R)$、半径为 $R$ 且过原点的圆；同理，$\rho =2R\cos \theta$ 表示一个圆心在 $x$ 轴正半轴上、圆心坐标为 $(R,0)$、半径为 $R$ 且过原点的圆。本题中 $2R=4⟹R=2$，可直接秒杀出圆心 $(0,2)$，半径 $2$。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 17.01 圆的方程与圆系理论
• 27.01 极坐标与直角坐标互化

类题演练 (Links)

• 1995-上海理-16 填-极坐标方程化直角坐标方程
• 2000-上海卷理-11 填-极坐标系与直角坐标系的互化
• 2007-广东文-14 填-极坐标化直角坐标求距离