1997-全国卷理-23 解-正方体中的垂直、角与体积

本题导读

本题考查线面垂直的性质与判定、异面直线所成的角。核心在于几何综合法、空间向量法（建系法）的灵活运用。

📌【题干】

Question

（1997年全国卷(理)） 如图，在正方体 $ABCD-A_1{B}_1{C}_1{D}_1$ 中，$E,F$ 分别是 $B{B}_1,CD$ 的中点.

(1)证明：$AD\perp D_{1}F$；

(2)求 $AE$ 与 $D_{1}F$ 所成的角；

(3)证明：面 $AED\perp$ 面 $A_{1}F{D}_1$；

(4)设 $A{A}_1=2$，求三棱锥 $F-A_{1}E{D}_1$ 的体积.

🔍【思路分析】

破题导航

第（1）问：利用正方体的性质，证明 $AD\perp$ 平面 $DC{C}_1{D}_1$，从而利用线面垂直的性质得出 $AD\perp D_{1}F$。 第（2）问：可建立空间直角坐标系，通过计算向量 $\overrightarrow{A_{1}E}$ 与 $\overrightarrow{D_{1}F}$ 的夹角余弦值，从而求得异面直线所成的角。 第（3）问：在面 $AED$ 内找一条直线，或通过向量法证明两个平面的法向量互相垂直。 第（4）问：三棱锥 $F-A_{1}E{D}_1$ 的体积直接以 $F$ 为顶点不易求高，可利用等体积法转化为 $V_{F-A_{1}E{D}_1}=V_{E-A_1{D}_{1}F}$。

✅【答案】

Success

（1）证明见解析；（2）$90^{\circ }$；（3）证明见解析；（4）$1$．

✍【详细解析】

Abstract

以 $D$ 为原点，$\overrightarrow{DA},\overrightarrow{DC},\overrightarrow{D{D}_1}$ 的方向分别为 $x$ 轴、$y$ 轴、$z$ 轴的正方向建立空间直角坐标系。 设正方体的棱长为 $2$，则各点坐标为： $D(0,0,0),A(2,0,0),B(2,2,0),C(0,2,0)$, $D_1(0,0,2),A_1(2,0,2),B_1(2,2,2),{\mathrm{C}}_1(0,2,2)$。 因为 $E,F$ 分别是 $B{B}_1,CD$ 的中点，所以 $E(2,2,1),F(0,1,0)$。

（1）证明：$AD\perp D_{1}F$

由坐标可得：$\overrightarrow{AD}=(-2,0,0)$，$\overrightarrow{D_{1}F}=(0,1,-2)$。 $\overrightarrow{AD}\cdot \overrightarrow{D_{1}F}=(-2)\times 0+0\times 1+0\times (-2)=0$ 所以 $AD\perp D_{1}F$。

（2）求 $AE$ 与 $D_{1}F$ 所成的角

由坐标可得：$\overrightarrow{AE}=(0,2,1)$，$\overrightarrow{D_{1}F}=(0,1,-2)$。 $\overrightarrow{AE}\cdot \overrightarrow{D_{1}F}=0\times 0+2\times 1+1\times (-2)=0$ 所以 $AE\perp D_{1}F$，即 $AE$ 与 $D_{1}F$ 所成的角为 $90^{\circ }$。

（3）证明：面 $AED\perp$ 面 $A_{1}F{D}_1$

分别求出两个平面的法向量，证明两个法向量互相垂直：

• 设平面 $AED$ 的法向量为 $\overrightarrow{n_1}=(x_1,y_1,z_1)$。 $\overrightarrow{DA}=(2,0,0)$，$\overrightarrow{DE}=(2,2,1)$。 由 $\{\begin{array}{l}\overrightarrow{n_1}\cdot \overrightarrow{DA}=0\\ \overrightarrow{n_1}\cdot \overrightarrow{DE}=0\end{array}⟹\{\begin{array}{l}2x_1=0\\ 2x_1+2y_1+z_1=0\end{array}$，令 $y_1=1$，得 $\overrightarrow{n_1}=(0,1,-2)$。

• 设平面 $A_{1}F{D}_1$ 的法向量为 $\overrightarrow{n_2}=(x_2,y_2,z_2)$。 $\overrightarrow{D_1{A}_1}=(2,0,0)$，$\overrightarrow{D_{1}F}=(0,1,-2)$。 由 $\{\begin{array}{l}\overrightarrow{n_2}\cdot \overrightarrow{D_1{A}_1}=0\\ \overrightarrow{n_2}\cdot \overrightarrow{D_{1}F}=0\end{array}⟹\{\begin{array}{l}2x_2=0\\ y_2-2z_2=0\end{array}$，令 $z_2=1$，得 $\overrightarrow{n_2}=(0,2,1)$。

计算两个法向量的内积： $\overrightarrow{n_1}\cdot \overrightarrow{n_2}=0\times 0+1\times 2+(-2)\times 1=0$ 因为 $\overrightarrow{n_1}\perp \overrightarrow{n_2}$，所以面 $AED\perp$ 面 $A_{1}F{D}_1$。

（4）求三棱锥 $F-A_{1}E{D}_1$ 的体积

当 $A{A}_1=2$ 时，正方体棱长为 $2$。 利用等体积法进行转换：$V_{F-A_{1}E{D}_1}=V_{E-A_1{D}_{1}F}$。

• 求底面 $△A_1{D}_{1}F$ 的面积： 在 Rt$△D_{1}DF$ 中，$D_{1}D=2,DF=1⟹D_{1}F=\sqrt{2^2+1^2}=\sqrt{5}$。 又由第（1）问知 $A_1{D}_1\perp$ 平面 $DC{\mathrm{C}}_1{D}_1$，所以 $A_1{D}_1\perp D_{1}F$。 $S_{△A_1{D}_{1}F}=\frac{1}{2}\times A_1{D}_1\times D_{1}F=\frac{1}{2}\times 2\times \sqrt{5}=\sqrt{5}$。

• 求高 $h$（即点 $E$ 到平面 $A_{1}F{D}_1$ 的距离）： 点 $E(2,2,1)$，平面 $A_{1}F{D}_1$ 过点 $D_1(0,0,2)$，法向量 $\overrightarrow{n_2}=(0,2,1)$。 $\overrightarrow{D_{1}E}=(2,2,-1)$。 $h=\frac{|\overrightarrow{D_{1}E}\cdot \overrightarrow{n_2}|}{|\overrightarrow{n_2}|}=\frac{|2\times 0+2\times 2+(-1)\times 1|}{\sqrt{0^2+2^2+1^2}}=\frac{3}{\sqrt{5}}$

• 计算体积： $V_{F-A_{1}E{D}_1}=V_{E-A_1{D}_{1}F}=\frac{1}{3}\times S_{△A_1{D}_{1}F}\times h=\frac{1}{3}\times \sqrt{5}\times \frac{3}{\sqrt{5}}=1$

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：线面垂直、面面垂直的判定与性质，异面直线夹角公式，三棱锥的等体积转换。 核心方法：空间直角坐标系法（将复杂的空间位置推导和动态高线寻找，平铺转化为坐标加减和向量内积运算）。 避坑指南：

• 异面直线所成的角取值范围是 $\left(0,\frac{\pi }{2}\right]$，向量夹角可能为钝角，最后记得求绝对值。
• 计算三棱锥体积时，切忌硬找 $F$ 到平面 $A_{1}E{D}_1$ 的距离，用等体积法换底是立体几何常规策略。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：本题出自教材中正方体截面及空间线面关系的核心经典推演题。此类题目既考查了传统的立体几何“形”的逻辑，也为后面全面推行空间向量“数”的解法提供了绝佳的范式。 结论推广：在棱长为 $a$ 的正方体中，若 $E,F$ 分别是平行侧棱和底面边长的中点，则由两中点关联出的特定平面间具有天然的垂直特征，其对应截面体体积往往呈现为正方体体积的固定比例（如本题体积为 $1=\frac{1}{8}{V}_{\text{正方体}}$）。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 13.03 空间点、线、面位置关系
• 16.03 两条直线的位置关系判定
• 13.01 空间几何体的结构、表面积与体积

类题演练 (Links)

• 2001-上海文-19 解-正方体垂直与二面角
• 1998-上海文-19 解-直四棱柱的二面角与异面角
• 2002-上海卷文-17 解-直三棱柱线面角