1997-全国卷理-16 填-二项式展开式的系数

本题导读

本题考查二项式定理，以及二项展开式的通项公式。

📌【题干】

Question

（1997年全国卷(理)） 已知 ${\left(\frac{a}{x}-\sqrt{\frac{x}{2}}\right)}^9$ 的展开式中 $x^3$ 的系数为 $\frac{9}{4}$，常数 $a$ 的值为$\underline{}$.

🔍【思路分析】

破题导航

写出二项展开式的通项公式：应用公式 $T_{r+1}=C_n^r{A}^{n-r}{B}^r$ 写出通项，其中 $A=a\cdot x^{-1}$， $B=-\frac{1}{\sqrt{2}}\cdot x^{\frac{1}{2}}$。 分离常数项与 $x$ 的指数项：将各项的常数系数与自变量 $x$ 的指数部分分别归类合并。 构建方程求解 $r$：令 $x$ 的总指数等于 3，求出对应的项数 $r$。 代入系数方程求解 $a$：将 $r$ 代入常数系数表达式中，使其等于 $\frac{9}{4}$，解出常数 $a$。

✅【答案】

Success

$4$

✍【详细解析】

Abstract

写出通项公式并化简 设展开式的第 $r+1$ 项为 $T_{r+1}$，根据二项式定理的通项公式： $T_{r+1}={\mathrm{C}}_9^r{\left(\frac{a}{x}\right)}^{9-r}{\left(-\sqrt{\frac{x}{2}}\right)}^r(0\le r\le 9,r\in \mathbb{Z})$

将式中的分式与根式拆分为幂指数形式： $T_{r+1}={\mathrm{C}}_9^r\cdot a^{9-r}\cdot x^{-(9-r)}\cdot {\left(-\frac{1}{\sqrt{2}}\right)}^r\cdot x^{\frac{r}{2}}$

将常数部分与 $x$ 的指数部分分别合并整理： $T_{r+1}={\mathrm{C}}_9^r\cdot a^{9-r}\cdot {\left(-\frac{1}{\sqrt{2}}\right)}^r\cdot x^{-(9-r)+\frac{r}{2}}$ $T_{r+1}={\mathrm{C}}_9^r\cdot a^{9-r}\cdot {\left(-\frac{1}{\sqrt{2}}\right)}^r\cdot x^{\frac{3r}{2}-9}$

求特定的项数 $r$ 题目要求 $x^3$ 的系数，令 $x$ 的指数等于 3： $\frac{3r}{2}-9=3$ $\frac{3r}{2}=12⟹3r=24⟹r=8$

代入系数方程求解 $a$ 当 $r=8$ 时，该项的系数为： $\text{系数}={\mathrm{C}}_9^8\cdot a^{9-8}\cdot {\left(-\frac{1}{\sqrt{2}}\right)}^8$

计算各项数值：

• ${\mathrm{C}}_9^8={\mathrm{C}}_9^1=9$
• $a^{9-8}=a^1=a$
• ${\left(-\frac{1}{\sqrt{2}}\right)}^8={\left({\left(-\frac{1}{\sqrt{2}}\right)}^2\right)}^4={\left(\frac{1}{2}\right)}^4=\frac{1}{16}$

代入可得系数表达式： $\text{系数}=9\cdot a\cdot \frac{1}{16}=\frac{9a}{16}$

已知该系数等于 $\frac{9}{4}$，列出方程： $\frac{9a}{16}=\frac{9}{4}$ 两边同时约去 9： $\frac{a}{16}=\frac{1}{4}⟹a=\frac{16}{4}=4$

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：二项式通项公式的指数归项；分数指数幂与负指数幂的代数运算法则。 核心方法：“通项指数待定系数法”。 避坑指南：

• 符号遗漏陷阱：在写第二项 $B$ 时，极其容易漏掉负号。虽然本题中算出的 $r=8$ 是偶数，负号经过 8 次方后变成了正号，未对最终结果造成直接破坏，但若遇到 $r$ 为奇数的情况，漏掉负号将直接导致结果正负反转。
• 指数相加计算失误：在化简 $x^{-(9-r)}\cdot x^{\frac{r}{2}}$ 时，应准确写为 $-9+r+\frac{r}{2}=\frac{3r}{2}-9$，避免因口算粗心导致 $r$ 的值无法整除。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：本题属于二项式定理板块最标准的经典填空题型，取材于高中数学教材中“二项式定理的通项公式及其应用”章节的课后基本巩固题。 结论推广：对于广义的二项式展开模型 ${\left(A{x}^{-m}+B{x}^n\right)}^N$，其展开式中 $x^k$ 项对应的项数 $r$ 满足固定的线性不变量方程：$r=\frac{k+mN}{m+n}$。通过这一模型，代入本题参数 $m=1,n=\frac{1}{2},N=9,k=3$，可直接一步心算出 $r=\frac{3+1\times 9}{1+1/2}=\frac{12}{1.5}=8$，在考场上可大幅提升前置计算速度。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 22.03 二项式定理全总结
• 19.03 数列通项公式求法全攻略

类题演练 (Links)

• 1998-上海文-09 填-二项式展开式的系数
• 1999-上海文-03 填-二项式展开的指定项系数
• 2001-大纲文-13 填-二项式特定项系数