1997-全国卷理-08 单-长方体的外接球

本题导读

本题考查长方体的外接球，以及长方体的体对角线公式。

📌【题干】

Question

（1997年全国卷(理)） 长方体一个顶点上三条棱的长分别是 3, 4, 5，且它的八个顶点都在同一个球面上，这个球的表面积是 ()

A. $20\sqrt{2}\pi$　　　　　　B. $25\sqrt{2}\pi$　　　　　　C. $50\pi$　　　　　　D. $200\pi$

🔍【思路分析】

破题导航

理清长方体与球的拓扑结构：长方体的八个顶点都在同一个球面上，说明该球是长方体的外接球。 寻找直径与核心边长的等式关系：根据空间几何性质，长方体的体对角线恰好等于其外接球的直径 $2R$。 计算直径平方并代入表面积公式：利用长方体体对角线通式 $l^2=a^2+b^2+c^2$ 求出 $(2R{)}^2$，进而结合球的表面积公式 $S=4\pi R^2=\pi (2R{)}^2$ 快速得出结论。

✅【答案】

Success

C

✍【详细解析】

Abstract

确定长方体体对角线与球直径的关系 设长方体的长、宽、高分别为 $a=3,b=4,c=5$，外接球的半径为 $R$。 因为长方体的八个顶点都在球面上，所以长方体的体对角线长 $l$ 即为该外接球的直径 $2R$： $2R=l$

计算体对角线的平方 根据长方体的体对角线公式，有： $l^2=a^2+b^2+c^2$ 代入已知数据： $(2R{)}^2=3^2+4^2+5^2=9+16+25=50$ 即： $4R^2=50$

求球的表面积 根据球的表面积公式： $S=4\pi R^2$ 将上一步算得的 $4R^2=50$ 整体代入公式中： $S=50\pi$

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：长方体外接球模型；体对角线公式；球表面积公式。 核心方法：“整体代换法”。在计算过程中，不需要单独解出球的半径 $R$ 或直径 $2R$ 的具体根式值，直接利用 $4R^2$ 作为整体代入表面积公式，能有效简化运算步骤。 避坑指南：在求出 $(2R{)}^2=50$ 后，部分学生由于粗心，误将其作为 $R^2=50$ 代入 $4\pi R^2$ 导致算出 $200\pi$ 而错选 D。必须认清 $4R^2$ 与 $(2R{)}^2$ 在代数上是完全相等的。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：本题属于典型的多面体外接球问题，取材于高中立体几何教材中“球的表面积与体积”章节后的标准模型巩固练习题。 结论推广：对于任意长、宽、高分别为 $a,b,c$ 的长方体或正方体，其外接球的表面积 $S$ 与体积 $V$ 存在固定的代数归一化模型：

• 表面积：$S=\pi (a^2+b^2+c^2)$
• 体积：$V=\frac{\pi }{6}(a^2+b^2+c^2{)}^{\frac{3}{2}}$ 这一模型可直接外推到“墙角模型”（即三条棱两两垂直的三棱锥外接球），只需将其补形为长方体，即可用完全相同的公式秒杀。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 13.02 外接球和内切球模型
• 13.01 空间几何体的结构、表面积与体积

类题演练 (Links)

• 2000-大纲文-03 单-长方体的对角线长
• 2002-北京卷文-05 单-球的体积与表面积
• 2003-大纲文-12 单-正四面体外接球