1996-全国卷理-18 填-两角和的正切公式

本题导读

本题考查两角和的正切公式，以及三角恒等变换的变形应用。

📌【题干】

Question

（1996年全国卷(理)） $\tan 20^{\circ }+\tan 40^{\circ }+\sqrt{3}\tan 20^{\circ }\tan 40^{\circ }$ 的值是$\underline{}$.

🔍【思路分析】

破题导航

观察角度特征：式中出现的两个非特殊角为 $20^{\circ }$ 和 $40^{\circ }$，它们的和为 $20^{\circ }+40^{\circ }=60^{\circ }$，而 $\tan 60^{\circ }=\sqrt{3}$ 恰好是式中出现的常数系数。 写出核心和角公式：写出两角和的正切公式：$\tan (\alpha +\beta )=\frac{\tan \alpha +\tan \beta }{1-\tan \alpha \tan \beta }$。 公式交叉相乘变形：将 $\alpha =20^{\circ },\beta =40^{\circ }$ 代入，去分母进行代数整项平移，构造出形如 $\tan \alpha +\tan \beta =\tan (\alpha +\beta )(1-\tan \alpha \tan \beta )$ 的特殊代数结构。 整体代入消除变数：将变形后的整体关系式替换回原题干，消去乘积项即可直接求出常数值。

✅【答案】

Success

$\sqrt{3}$

✍【详细解析】

Abstract

利用两角和的正切公式建立基本关系 根据两角和的正切公式： $\tan (\alpha +\beta )=\frac{\tan \alpha +\tan \beta }{1-\tan \alpha \tan \beta }$

令 $\alpha =20^{\circ }$ 且 $\beta =40^{\circ }$，则有： $\tan (20^{\circ }+40^{\circ })=\frac{\tan 20^{\circ }+\tan 40^{\circ }}{1-\tan 20^{\circ }\tan 40^{\circ }}$ $\tan 60^{\circ }=\frac{\tan 20^{\circ }+\tan 40^{\circ }}{1-\tan 20^{\circ }\tan 40^{\circ }}$

因为已知特殊角正切值 $\tan 60^{\circ }=\sqrt{3}$，代入上式得： $\sqrt{3}=\frac{\tan 20^{\circ }+\tan 40^{\circ }}{1-\tan 20^{\circ }\tan 40^{\circ }}$

去分母进行公式变形（乘积项整体移向） 两边同时乘以分母 $(1-\tan 20^{\circ }\tan 40^{\circ })$： $\tan 20^{\circ }+\tan 40^{\circ }=\sqrt{3}(1-\tan 20^{\circ }\tan 40^{\circ })$

展开右边的括号： $\tan 20^{\circ }+\tan 40^{\circ }=\sqrt{3}-\sqrt{3}\tan 20^{\circ }\tan 40^{\circ }$

将含有乘积项的项移到等式左边，即可得到一个极为关键的整体代数结构等式： $\tan 20^{\circ }+\tan 40^{\circ }+\sqrt{3}\tan 20^{\circ }\tan 40^{\circ }=\sqrt{3}$

比对并得出结论 观察发现，上式左边的整个代数式与题干要求求解的表达式完全一致。 因此，该式子的最终计算结果直接等于 $\sqrt{3}$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：两角和的正切公式的逆向变形应用；特殊角三角函数值的代入。 核心方法：“结构整体代换法”。在三角恒等变换中，形如 $\tan \alpha +\tan \beta$ 与 $\tan \alpha \tan \beta$ 同时出现的混合多项式，直接使用变形公式 $\tan \alpha +\tan \beta =\tan (\alpha +\beta )(1-\tan \alpha \tan \beta )$ 进行整体归一替换，是处理此类切式求值的核心突破口。 避坑指南：

• 切弦盲目化简陷阱：极易习惯性地将 $\tan 20^{\circ }$ 和 $\tan 40^{\circ }$ 转化为 $\frac{\sin 20^{\circ }}{\cos 20^{\circ }}$ 和 $\frac{\sin 40^{\circ }}{\cos 40^{\circ }}$ 进行通分计算。由于 $20^{\circ }$ 是非特殊角，强行化为正余弦会导致计算量瞬间呈几何级数放大，并且在没有三倍角公式的辅助下极难化简出常数结果。
• 必须时刻对两个非特殊角相加减是否等于 $30^{\circ },45^{\circ },60^{\circ }$ 等特殊角保持高度的数字敏锐度。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：本题属于三角恒等变换板块最经典的标志性填空题。取材于高中数学教材中“两角和与差的正切公式”章节下的标准课后探究习题，主要考查公式的逆向代数重组能力。 结论推广： 将本题进行参数化一般推演：对于任意两个角 $\alpha$ 和 $\beta$，只要它们的和为一个固定角 $\theta$（即 $\alpha +\beta =\theta$），根据两角和正切公式的移项变形，均可直接推导出一个通用的恒等式模型： $\tan \alpha +\tan \beta +\tan \theta \tan \alpha \tan \beta =\tan \theta$ 本题秒杀验证：识别出 $\alpha =20^{\circ },\beta =40^{\circ }⟹\theta =20^{\circ }+40^{\circ }=60^{\circ }$。直接带入上述推广模型中，由于 $\tan \theta =\tan 60^{\circ }=\sqrt{3}$，所以原式 $\equiv \tan 60^{\circ }=\sqrt{3}$。这套整体代数结构模型在高考三角填空题中属于可以直接作为定理心算的“秒杀武器”。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 10.01 两角和与差及辅助角公式

类题演练 (Links)

• 2004-上海卷文-01 填-正切和角求值
• 1997-全国卷文-18 填-三角函数的恒等求值
• 1998-全国卷文-01 单-诱导公式求特殊角的三角函数值