1996-全国卷理-03 单-三角不等式的解法

本题导读

本题考查三角不等式的解法，以及二倍角公式。

📌【题干】

Question

（1996年全国卷(理)） 若 ${\sin }^{2}x>{\cos }^{2}x$，则 $x$ 的取值范围是 ()

A. $\left\{x|2k\pi -\frac{3}{4}\pi <x<2k\pi +\frac{1}{4}\pi ,k\in \mathbf{Z}\right\}$　B. $\left\{x|2k\pi +\frac{1}{4}\pi <x<2k\pi +\frac{5}{4}\pi ,k\in \mathbf{Z}\right\}$ C. $\left\{x|k\pi -\frac{1}{4}\pi <x<k\pi +\frac{1}{4}\pi ,k\in \mathbf{Z}\right\}$　D. $\left\{x|k\pi +\frac{1}{4}\pi <x<k\pi +\frac{3}{4}\pi ,k\in \mathbf{Z}\right\}$

🔍【思路分析】

破题导航

不等式代数变形：将不等式移项化为 ${\cos }^{2}x-{\sin }^{2}x<0$ 的形式，以便构造已知的二倍角公式。 运用二倍角公式：利用 $\cos 2x={\cos }^{2}x-{\sin }^{2}x$，将不等式转化为关于单项余弦的不等式 $\cos 2x<0$。 求解基本区间：根据余弦函数的图象，找出满足 $\cos \theta <0$ 的基本角 $\theta$ 的取值范围。 还原自变量并写出通解：令 $\theta =2x$，结合余弦函数的周期 $2k\pi$，求出 $x$ 的基本区间与通解集，比对选项。

✅【答案】

Success

D

✍【详细解析】

Abstract

已知不等式为： ${\sin }^{2}x>{\cos }^{2}x$

将等式右边项移至左边： ${\cos }^{2}x-{\sin }^{2}x<0$

利用余弦的二倍角公式 $\cos 2x={\cos }^{2}x-{\sin }^{2}x$，原不等式等价于： $\cos 2x<0$

根据余弦函数的性质，在一个周期内，满足余弦值小于 0 的角位于第二、三象限。 即基本取值范围为： $2k\pi +\frac{\pi }{2}<2x<2k\pi +\frac{3\pi }{2}(k\in \mathbf{Z})$

不等式各部分同时除以 2，以还原自变量 $x$： $k\pi +\frac{\pi }{4}<x<k\pi +\frac{3\pi }{4}(k\in \mathbf{Z})$

将常数π统一写成分数形式，即： $k\pi +\frac{1}{4}\pi <x<k\pi +\frac{3\pi }{4}(k\in \mathbf{Z})$

该集合形式与 (D) 选项完全一致。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：二倍角公式的逆向运用；简单三角不等式的标准解法。 核心方法：“倍角降维法”。通过将二次方的三角组合项通过 $\cos 2x$ 降为一次方，能直接规避开方时讨论正负绝对值的繁琐步骤。 避坑指南：

• 绝对值开方陷阱：若本题直接开方化为 $|\sin x|>|\cos x|$，则需要在单位圆中分四个象限分别讨论 $\frac{\pi }{4}$ 的边界，极易漏掉第三、四象限的对称区间，从而错选 (A) 或 (B)。
• 注意因周期改变导致的边界变化。由 $2x$ 变为 $x$ 时，左边的周期算子 $2k\pi$ 必须同步除以 2 变为 $k\pi$。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：本题属于三角函数图象与性质板块的经典能力测试题。取材于教材中“二倍角的正弦、余弦公式”与“余弦函数的性质”课后习题的交汇综合。 结论推广： 对于广义的两大基本三角平方不等式，其通解集具有如下高度对称的标准代数模型（$k\in \mathbf{Z}$）：

• 不等式 ${\sin }^{2}x>{\cos }^{2}x⟺\cos 2x<0⟺x\in \left(k\pi +\frac{1}{4}\pi ,k\pi +\frac{3}{4}\pi \right)$ （本题结论）；
• 不等式 ${\cos }^{2}x>{\sin }^{2}x⟺\cos 2x>0⟺x\in \left(k\pi -\frac{1}{4}\pi ,k\pi +\frac{1}{4}\pi \right)$ （对应 (C) 选项结论）。 牢记这两组互补的区间模型，在面对一元二次同名三角不等式的大题步骤中可以实现瞬间验算。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 03.04 绝对值不等式及排序不等式
• 10.02 倍角、降幂与升幂公式

类题演练 (Links)

• 2002-大纲文-05 单-三角不等式区间
• 2002-新课标文-05 单-三角不等式区间
• 1997-全国卷文-06 单-正切与余切不等式的区间