本题导读
本题考查排列与组合的综合应用，以及分步计数原理。
📌【题干】
Question
（1995年全国卷(理)） 四个不同的小球放入编号为 1, 2, 3, 4 的四个盒中，则恰有一个空盒的放法共有 种.（用数字作答）
🔍【思路分析】
破题导航
定量结构分析：有 4 个不同的球和 4 个不同的盒子。若“恰有一个空盒”，说明这 4 个球只能放入其余的 3 个盒子中，且这 3 个盒子都不能空。 分析球的分组：将 4 个不同的球放入 3 个不同的盒子中且不空，根据整数拆分，4 个球的分组数量只能是 的结构。即必然有 1 个盒子放 2 个球，另外 2 个盒子各放 1 个球。 分步计数设计：
- 第一步：选出哪一个盒子是空的；
- 第二步：将 4 个不同的球分成三组，人数分别为 2, 1, 1；
- 第三步：将分好的三组球分到剩下的 3 个盒子中。 组合计算：运用乘法原理将各步的方法数相乘得出最终结果。
✅【答案】
Success
✍【详细解析】
Abstract
根据题目要求“恰有一个空盒”，说明 4 个球放进了 3 个盒子里，且每个盒子至少有 1 个球。 由于小球有 4 个，只能按 的组合方式分成三组。
下面采用**“先分组，后分配”**的标准分步程序进行计算：
选空盒 从 4 个编号不同的盒子中，选出 1 个作为空盒，共有：
小球分组 将 4 个不同的球分成互不相同的三组，各组球数分别为 2 个、1 个、1 个。 先从 4 个球中选 2 个作为一组，有 种；剩下的 2 个球各成一组，由于这两组的元素个数相同（都是1个）且无顺序，需消除重复计数：
全排列分配 将分好的三组球（一个“两球组”，两个“单球组”）分配到剩下的 3 个非空盒子里，这是一个全排列问题，共有：
总计 根据分步乘法计数原理，满足条件的总放法数为：
💡【考点归纳与避坑指南】
Danger
核心考点：不同元素放入不同位置的“不均匀分组与分配”问题。 核心方法：“先分组，后排列（分配）”。这是解决此类非均匀分配问题的黄金法则。先不管盒子，把球按照数目要求纯粹地分成堆（组合），再把这几堆球分给具体的盒子（排列）。 避坑指南：
- 均分分组除以 ：在第二步分组时，分成 堆，其中有两个单球堆的数目相同。如果直接用 计算，会把“先选出A再选出B”与“先选出B再选出A”当作不同情况。由于这两堆地位均等，必须除以 消除顺序。
- 直接选球入盒的逻辑陷阱：若先从4个球选2个（）放入1个盒子，再安排剩下2个球。这种带有主观顺序的代入极易在处理“不同球、不同盒”时造成重复或遗漏，不推荐使用。
📖【试题探源与推广】
Tip
试题探源：本题是概率与计数原理板块最经典的“球盒模型”之一。源于教材中关于排列组合综合应用部分的示范性例题。 结论推广： 将 个不同的球放入 个不同的盒子中，满足**“恰有一个空盒”**的通用布局放法公式： 由于恰有一个空盒，则必然有且仅有一个盒子盛放了 2 个球，其余 个盒子各盛放 1 个球。
- 选空盒的方法： 种；
- 选盛放 2 个球的盒子方法： 种；
- 从 个球中选出 2 个放进该盒的方法： 种；
- 剩下的 个球在剩下的 个盒子里做全排列： 种。
因此，通项公式为： 本题验证：将 代入推广公式： 该公式可直接解决所有“ 个不同球、 个不同盒、恰有一空盒”的同类考题。
🔗【关联脉络】
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