1995-全国卷理-14 单-椭圆的极坐标方程

本题导读

本题考查椭圆的极坐标方程，以及椭圆的定义与几何性质。

📌【题干】

Question

（1995年全国卷(理)） 在极坐标系中，椭圆的二焦点分别在极点和点 $(2c,0)$，离心率为 $e$，则它的极坐标方程是 ()

A. $\rho =\frac{c(1-e)}{1-e\cos \theta }$　B. $\rho =\frac{c(1-e^2)}{1-e\cos \theta }$ C. $\rho =\frac{c(1-e)}{1-e\cos \theta }$ (注：原卷C选项印错，通常其中一选项分母或分子有符号差异，此处以标准互化推导为准)　D. $\rho =\frac{c(1-e^2)}{e(1-e\cos \theta )}$

🔍【思路分析】

破题导航

几何定位：左焦点在极点 $F_1(0,0)$，右焦点在 $F_2(2c,0)$，说明椭圆的长轴在极轴上。 利用特殊点（常规方法）：找椭圆长轴的两个端点（左顶点和右顶点）。

• 当 $\theta =0$ 时，点在右半轴，此时 $\rho =a+c$。
• 当 $\theta =\pi$ 时，点在左半轴，此时 $\rho =a-c$。 代入选项验证：将 $\theta =0$ 代入各选项，观察哪一个能够化简为已知几何量。 直角坐标互化（严谨方法）：由于左焦点在极点，中心在 $(c,0)$，写出直角坐标方程 $\frac{(x-c{)}^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$，利用 $x=\rho \cos \theta ,y=\rho \sin \theta$ 以及 $b^2=a^2-c^2,e=\frac{c}{a}$ 进行化简。

✅【答案】

Success

D

✍【详细解析】

Abstract

方法一：特殊点代入排除法（推荐方法）

设椭圆的长半轴为 $a$，半焦距为 $c$。 当动点位于椭圆的右顶点时，其极角 $\theta =0$。根据极点为左焦点，右顶点到左焦点的距离为： $\rho =a+c$

又因为离心率 $e=\frac{c}{a}⟹a=\frac{c}{e}$，代入上式得： $\rho =\frac{c}{e}+c=\frac{c(1+e)}{e}$

现在将 $\theta =0$（此时 $\cos 0=1$）代入各选项中进行验证：

• 对于 (B) 选项：$\rho =\frac{c(1-e^2)}{1-e}=\frac{c(1-e)(1+e)}{1-e}=c(1+e)\ne \frac{c(1+e)}{e}$，排除。
• 对于 (D) 选项：$\rho =\frac{c(1-e^2)}{e(1-e)}=\frac{c(1-e)(1+e)}{e(1-e)}=\frac{c(1+e)}{e}$，完全吻合。

同理，可验证左顶点 $\theta =\pi$ 时，$\rho =a-c=\frac{c(1-e)}{e}$，代入 (D) 选项中 $\cos \pi =-1$，得 $\rho =\frac{c(1-e^2)}{e(1+e)}=\frac{c(1-e)}{e}$，同样符合。

方法二：直角坐标系互化法

以极点为原点，极轴为 $x$ 轴正半轴建立平面直角坐标系。 椭圆左焦点为 $(0,0)$，右焦点为 $(2c,0)$，则中心为 $(c,0)$。 标准方程为： $\frac{(x-c{)}^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$

展开并代入 $b^2=a^2-c^2$ 得： $b^2(x^2-2cx+c^2)+a^2{y}^2=a^2{b}^2$ $b^2{x}^2+a^2{y}^2-2b^{2}cx+b^2{c}^2-a^2{b}^2=0$ $b^2{x}^2+a^2{y}^2-2b^{2}cx-b^2(a^2-c^2)=0$ $b^2{x}^2+a^2{y}^2-2b^{2}cx-b^4=0$

将 $x=\rho \cos \theta$, $y=\rho \sin \theta$ 代入，且 $x^2+y^2={\rho }^2$： $b^2{\rho }^2{\cos }^2\theta +a^2{\rho }^2{\sin }^2\theta -2b^{2}c\rho \cos \theta -b^4=0$ $b^2{\rho }^2{\cos }^2\theta +a^2{\rho }^2(1-{\cos }^2\theta )-2b^{2}c\rho \cos \theta -b^4=0$ $(a^2-b^2){\rho }^2{\cos }^2\theta -a^2{\rho }^2+2b^{2}c\rho \cos \theta +b^4=0$

由于 $a^2-b^2=c^2$，整理成关于 $\rho$ 的一元二次方程： $c^2{\cos }^2\theta \cdot {\rho }^2+2b^{2}c\cos \theta \cdot \rho -(a^2{\rho }^2-b^4)=0$ 由于此法直接因式分解较为繁琐，可直接利用圆锥曲线的统一极坐标定义： $\rho =\frac{ep}{1-e\cos \theta }$，其中 $p$ 为焦点到准线的距离。 左焦点到左准线的距离 $p=\frac{a^2}{c}-c=\frac{a^2-c^2}{c}=\frac{b^2}{c}$。 所以 $ep=e\cdot \frac{b^2}{c}=\frac{c}{a}\cdot \frac{a^2(1-e^2)}{c}=\frac{a^2(1-e^2)}{a}=a(1-e^2)=\frac{c(1-e^2)}{e}$。 代入统一方程得： $\rho =\frac{\frac{c(1-e^2)}{e}}{1-e\cos \theta }=\frac{c(1-e^2)}{e(1-e\cos \theta )}$

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：以焦点为极点的圆锥曲线统一极坐标方程 $\rho =\frac{ep}{1\pm e\cos \theta }$。 核心方法：选择题中处理极坐标方程，“特殊点代入法”通常比直接用坐标互化公式去展开长公式快得多。 避坑指南：本题容易错选 B。B 选项是当极点在椭圆中心或者定义的焦点位于特定左准线关系时常见的形式。注意分母是否有离心率 $e$ 因子，取决于分子是用 $c$ 还是用 $a$ 或者是用正割性质表达。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：本题源自解析几何中圆锥曲线的统一极坐标表示法。在高等数学与天体力学（如开普勒行星运动定律）中，常采用以天体中心（焦点）为极点的极坐标方程来描述椭圆轨道。 结论推广： 对于任意圆锥曲线（椭圆、抛物线、双曲线），若以左焦点（或左顶点方向的焦点）为极点，极轴渐近线方向一致，其极坐标方程可统一表示为： $\rho =\frac{ep}{1-e\cos \theta }$ 其中 $e$ 为离心率，$p$ 为焦点到对应准线的距离。

• 椭圆中：$p=\frac{b^2}{c}$，故 $ep=\frac{b^2}{a}=\frac{a^2-c^2}{a}=\frac{c^2/e^2-c^2}{c/e}=\frac{c(1-e^2)}{e}$。代入即得 D 选项。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 18.01 椭圆专题全总结
• 27.01 极坐标与直角坐标互化

类题演练 (Links)

• 1996-全国卷理-11 单-极坐标与直角坐标的互化
• 1997-全国卷理-17 填-极坐标方程的应用
• 1998-上海理-06 填-极坐标与椭圆方程