1995-全国卷理-03 单-辅助角公式与最小正周期

本题导读

本题考查辅助角公式（两角和与差的正弦公式），以及三角函数的周期性。

📌【题干】

Question

（1995年全国卷(理)） 函数 $y=4\sin \left(3x+\frac{\pi }{4}\right)+3\cos \left(3x+\frac{\pi }{4}\right)$ 的最小正周期是 ()

A. $6\pi$　　　　　　　B. $2\pi$　　　　　　　C. $\frac{2\pi }{3}$　　　　　　　D. $\frac{\pi }{3}$

🔍【思路分析】

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统一整体变量：观察发现正弦与余弦的角完全相同，均为 $\theta =3x+\frac{\pi }{4}$。原式可看作 $y=4\sin \theta +3\cos \theta$。 辅助角公式合成：利用辅助角公式 $A\sin \theta +B\cos \theta =\sqrt{A^2+B^2}\sin (\theta +\phi )$，将函数化为标准的 $y=A^{\prime }\sin (\omega x+{\phi }^{\prime })$ 形式。 周期公式求解：利用正弦函数最小正周期计算公式 $T=\frac{2\pi }{|\omega |}$，直接读取 $x$ 的系数 $\omega =3$ 即可求得结果。

✅【答案】

Success

C

✍【详细解析】

Abstract

解法一：标准辅助角化简法 令 $\theta =3x+\frac{\pi }{4}$，则原式可化为： $y=4\sin \theta +3\cos \theta$

引入辅助角 $\phi$，提取系数平方和根号 $\sqrt{4^2+3^2}=5$： $y=5\left(\frac{4}{5}\sin \theta +\frac{3}{5}\cos \theta \right)$

设 $\cos \phi =\frac{4}{5}$，$\sin \phi =\frac{3}{5}$，根据两角和的正弦公式，上式可化简为： $y=5\sin (\theta +\phi )$

将 $\theta =3x+\frac{\pi }{4}$ 代入还原： $y=5\sin \left(3x+\frac{\pi }{4}+\phi \right)$

此时，该正弦函数的自变量 $x$ 的系数（角频率）$\omega =3$。 根据正弦函数的周期公式，其最小正周期为： $T=\frac{2\pi }{|\omega |}=\frac{2\pi }{3}$

解法二：系数观察法（秒杀法） 由于正弦分量 $4\sin \left(3x+\frac{\pi }{4}\right)$ 与余弦分量 $3\cos \left(3x+\frac{\pi }{4}\right)$ 具有完全相同的角速度 $\omega =3$，它们进行线性叠加（相加）后，根据简谐运动的叠加原理，合振动的角速度仍保持不变，依然为 $\omega =3$。 因此，不需要进行繁琐的辅助角化简，直接由 $\omega =3$ 套用周期公式： $T=\frac{2\pi }{3}$

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：辅助角公式 $a\sin x+b\cos x=\sqrt{a^2+b^2}\sin (x+\phi )$；正、余弦型函数 $y=A\sin (\omega x+\phi )$ 的周期 $T=\frac{2\pi }{|\omega |}$。
2. 核心方法：周期独立性原理。函数的周期仅由自变量 $x$ 的系数 $\omega$ 决定，与函数的振幅（前面的系数 4 和 3）以及初相（$\frac{\pi }{4}$）完全无关。
3. 避坑指南：容易误认为需要将 $\sin$ 和 $\cos$ 内部的 $3x+\frac{\pi }{4}$ 用两角和公式全部拆开再重新组合。这样不仅运算量极大，而且极易因负号或系数导致计算错乱。看到同频（即 $x$ 的系数相同）的正弦和余弦相加，直接提取 $\omega$ 即可。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：本题属于高一三角函数性质章节的标志性基础题，主要考查学生对“简谐振动合成”后周期不变这一物理与数学交叉性质的理解。
2. 结论推广：对于任何形如 $y=A\sin (\omega x+{\phi }_1)+B\cos (\omega x+{\phi }_2)$ 或者是更泛化的多项同频三角函数线性组合，只要所有项中 $x$ 的系数 $\omega$ 严格相等，其叠加后的复合函数最小正周期恒为： $T=\frac{2\pi }{|\omega |}$ 该结论对正切、余切函数则对应为 $T=\frac{\pi }{|\omega |}$。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 10.01 两角和与差及辅助角公式
• 05.02 函数的四大性质

类题演练 (Links)

• 1997-全国卷文-05 单-三角函数的最小正周期
• 1996-上海文-02 单-正弦函数的单调区间
• 1998-全国卷文-01 单-诱导公式求特殊角的三角函数值