1995-上海理-07 单-指数式的大小比较

本题导读

本题考查指数式的大小比较，以及指数函数单调性与中间量的放缩。

📌【题干】

Question

（1995年上海卷(理)） 当 $0<a<b<1$ 时，下列不等式中正确的是 ()

A.$(1-a{)}^{\frac{1}{b}}>(1-a{)}^b$　　B.$(1+a{)}^a>(1+b{)}^b$ C.$(1-a{)}^b>(1-a{)}^{\frac{b}{2}}$　　D.$(1-a{)}^a>(1-b{)}^b$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 由 $0<a<b<1$ 判断各底数与指数的大小。
2. 利用指数函数单调性逐项检验。

✅【答案】

Success

D

✍【详细解析】

Abstract

由 $0<a<b<1$，有 $0<1-b<1-a<1$，且 $0<a<b$。 A 项：$(1-a{)}^{\frac{1}{b}}$ 与 $(1-a{)}^b$ 底数 $0<1-a<1$，指数 $\frac{1}{b}>b$，因底数小于 1 指数函数递减，故 $(1-a{)}^{\frac{1}{b}}<(1-a{)}^b$，A 错。 C 项：$b>\frac{b}{2}$，故 $(1-a{)}^b<(1-a{)}^{\frac{b}{2}}$，C 错。 D 项：$(1-a{)}^a>(1-a{)}^b>(1-b{)}^b$，故 $(1-a{)}^a>(1-b{)}^b$，D 正确。故选 D

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：指数式的大小比较

核心方法：$0<a<b<1$，$(1-a{)}^a>(1-b{)}^b$：因 $1-a>1-b>0$ 且 $a<b$，$(1-a{)}^a>(1-a{)}^b>(1-b{)}^b$，选 D

避坑指南：指数函数单调性放缩

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：源于教材指数函数单调性

结论推广：一般地，用中间量放缩比较

方法推广：指数函数单调性放缩

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 06.01 幂指对函数图象与性质

类题演练 (Links)

• 1997-上海理-02 单-指数对数的大小比较
• 1996-上海文-07 单-对数比较大小
• 1998-上海理-11 填-指数函数的最值