1995-上海文-22A 解-复数的模与共轭

本题导读

本题考查复数的模与共轭。核心在于利用和为纯虚数的结构设对称形式，再解出 $z_1,z_2$。

📌【题干】

Question

（1995年上海卷(文)） （选做题，22A 与 22B 二选一）已知复数 $z_1$，$z_2$ 满足 $|z_1|=|z_2|=1$，且 $z_1+z_2=i$.求 $z_1$，$z_2$ 的值.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 由 $z_1+z_2=i$ 是纯虚数，设 $z_1=a+bi$、$z_2=-a+bi$。
2. 用 $a^2+b^2=1$ 及 $2b=1$ 解出 $a,b$。

✅【答案】

Success

$z_1=\frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{1}{2}i,z_2=-\frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{1}{2}i$ 或 $z_1=-\frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{1}{2}i,z_2=\frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{1}{2}i$

✍【详细解析】

Abstract

因为 $z_1+z_2=i$ 是纯虚数，且 $|z_1|=|z_2|=1$，可设 $z_1=a+bi$、$z_2=-a+bi$（$a,b\in \mathbf{R}$），且 $a^2+b^2=1$。由 $(a+bi)+(-a+bi)=i$，得 $2b=1$，即 $b=\frac{1}{2}$，从而 $a=\pm \sqrt{1-\frac{1}{4}}=\pm \frac{\sqrt{3}}{2}$。 所以 $z_1=\frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{1}{2}i,z_2=-\frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{1}{2}i$，或 $z_1=-\frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{1}{2}i,z_2=\frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{1}{2}i$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：复数的模与共轭

核心方法：设 $z_1=a+bi$、$z_2=-a+bi$，由 $z_1+z_2=i$ 得 $b=\frac{1}{2}$，又 $a^2+b^2=1$ 得 $a=\pm \frac{\sqrt{3}}{2}$，故 $z_1=\frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{1}{2}i,z_2=-\frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{1}{2}i$（或互换）

避坑指南：实部虚部分解

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：源于教材复数的模与共轭

结论推广：一般地，利用和为纯虚数的结构设对称形式

方法推广：实部虚部分解

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 12.01 数系的扩充与复数

类题演练 (Links)

• 1996-上海理-22A 解-复数的模与纯虚数
• 1998-上海理-18 解-复数旋转与辐角主值
• 1999-上海理-19 解-复数辐角主值的范围