1995-上海文-21B 解-空间向量的坐标与夹角

本题导读

本题考查空间向量的坐标运算与向量夹角。核心在于由几何关系求向量坐标，再用数量积求夹角余弦。

📌【题干】

Question

（1995年上海卷(文)） （选做题，21A 与 21B 二选一）如图，在空间直角坐标系中，$BC=2$，原点 $O$ 是 $BC$ 的中点，点 $A$ 的坐标是 $\left(\frac{\sqrt{3}}{2},\frac{1}{2},0\right)$，点 $D$ 在平面 $yOz$ 上，且 $\angle BDC=90^{\circ }$，$\angle DCB=30^{\circ }$.

(1)求向量 $\overrightarrow{OD}$ 的坐标；

(2)设向量 $\overrightarrow{AD}$ 和 $\overrightarrow{BC}$ 的夹角为 $\theta$，求 $\cos \theta$ 的值.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 由 $D$ 在平面 $yOz$ 上及角度条件求 $D$ 的坐标。
2. 求 $\overrightarrow{AD}$、$\overrightarrow{BC}$，用数量积求夹角余弦。

✅【答案】

Success

(1) $\overrightarrow{OD}=\left(0,-\frac{1}{2},\frac{\sqrt{3}}{2}\right)$

(2) $-\frac{\sqrt{10}}{5}$

✍【详细解析】

Abstract

(1)由 $BC=2$，$O$ 是 $BC$ 中点，取 $B=(0,-1,0)$、$C=(0,1,0)$。$D$ 在平面 $yOz$ 上，设 $D=(0,y_D,z_D)$。由 $\angle DCB=30^{\circ }$、$\angle BDC=90^{\circ }$，得 $CD=BC\cos 30^{\circ }=\sqrt{3}$，于是 $z_D=CD\sin 30^{\circ }=\frac{\sqrt{3}}{2}$，$y_D=1-CD\cos 30^{\circ }=1-\sqrt{3}\times \frac{\sqrt{3}}{2}=-\frac{1}{2}$。故 $\overrightarrow{OD}=\left(0,-\frac{1}{2},\frac{\sqrt{3}}{2}\right)$。 (2)$\overrightarrow{OA}=\left(\frac{\sqrt{3}}{2},\frac{1}{2},0\right)$，故 $\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{OD}-\overrightarrow{OA}=\left(-\frac{\sqrt{3}}{2},-1,\frac{\sqrt{3}}{2}\right)$，$\overrightarrow{BC}=(0,2,0)$。于是 $\cos \theta =\frac{\overrightarrow{AD}\cdot \overrightarrow{BC}}{|\overrightarrow{AD}||\overrightarrow{BC}|}=\frac{-2}{\sqrt{\frac{3}{4}+1+\frac{3}{4}}\times 2}=\frac{-2}{\sqrt{\frac{5}{2}}\times 2}=-\frac{\sqrt{10}}{5}$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：空间向量的坐标与夹角

核心方法：$z_D=\frac{\sqrt{3}}{2}$、$y_D=-\frac{1}{2}$，$\overrightarrow{OD}=(0,-\frac{1}{2},\frac{\sqrt{3}}{2})$；$\overrightarrow{AD}=(-\frac{\sqrt{3}}{2},-1,\frac{\sqrt{3}}{2})$、$\overrightarrow{BC}=(0,2,0)$，$\cos \theta =\frac{-2}{\frac{\sqrt{5}}{2}\cdot 2}=-\frac{\sqrt{10}}{5}$

避坑指南：向量坐标求夹角

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：源于教材空间向量

结论推广：一般地，向量坐标求夹角

方法推广：向量坐标求夹角

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 09.03 平面向量的数量积

类题演练 (Links)

• 1997-上海理-19 解-三棱柱的线面角与面面垂直
• 1998-上海理-19 解-直四棱柱的二面角与异面角
• 1999-上海理-20 解-四棱锥中异面直线所成角