1994-全国卷理-22 解-正切函数的凹凸性不等式

本题导读

本题考查正切函数的和差化积公式、三角函数的不等式证明。核心在于作差比较法、三角恒等变换法的灵活运用。

📌【题干】

Question

（1994年全国卷(理)） 已知函数 $f(x)=\tan x,x\in \left(0,\frac{\pi }{2}\right)$.若 $x_1,x_2\in \left(0,\frac{\pi }{2}\right)$，且 $x_1\ne x_2$，证明： $\frac{1}{2}[f(x_1)+f(x_2)]>f\left(\frac{x_1+x_2}{2}\right)$

🔍【思路分析】

破题导航

作差变形：将欲证不等式移项作差，设 $\Delta =\frac{1}{2}(\tan x_1+\tan x_2)-\tan \frac{x_1+x_2}{2}$。 切化弦：利用 $\tan \theta =\frac{\sin \theta }{\cos \theta }$ 将式子全部化为正弦和余弦的形式。 通分与分子合并：

• 对 $\frac{\sin x_1}{\cos x_1}+\frac{\sin x_2}{\cos x_2}$ 进行通分，分子可利用两角和的正弦公式化简为 $\sin (x_1+x_2)$。
• 再利用二倍角公式 $\sin (x_1+x_2)=2\sin \frac{x_1+x_2}{2}\cos \frac{x_1+x_2}{2}$，从而可以提取公因式 $\sin \frac{x_1+x_2}{2}$。 符号判定：结合 $x_1,x_2\in \left(0,\frac{\pi }{2}\right)$ 的范围，确定最终因式中每一部分的符号，从而完成证明。

✅【答案】

Success

证明见解析（不等式 $\frac{1}{2}[f(x_1)+f(x_2)]>f\left(\frac{x_1+x_2}{2}\right)$ 成立）

✍【详细解析】

Abstract

证明： 要证原不等式成立，只需证 $\frac{1}{2}(\tan x_1+\tan x_2)-\tan \frac{x_1+x_2}{2}>0$。

设 $\Delta =\frac{1}{2}(\tan x_1+\tan x_2)-\tan \frac{x_1+x_2}{2}$。 将正切函数全部化为正弦和余弦： $\Delta =\frac{1}{2}\left(\frac{\sin x_1}{\cos x_1}+\frac{\sin x_2}{\cos x_2}\right)-\frac{\sin \frac{x_1+x_2}{2}}{\cos \frac{x_1+x_2}{2}}$ $=\frac{1}{2}\cdot \frac{\sin x_1\cos x_2+\cos x_1\sin x_2}{\cos x_1\cos x_2}-\frac{\sin \frac{x_1+x_2}{2}}{\cos \frac{x_1+x_2}{2}}$ $=\frac{\sin (x_1+x_2)}{2\cos x_1\cos x_2}-\frac{\sin \frac{x_1+x_2}{2}}{\cos \frac{x_1+x_2}{2}}$

利用二倍角公式 $\sin (x_1+x_2)=2\sin \frac{x_1+x_2}{2}\cos \frac{x_1+x_2}{2}$ 代入上式分子： $\Delta =\frac{2\sin \frac{x_1+x_2}{2}\cos \frac{x_1+x_2}{2}}{2\cos x_1\cos x_2}-\frac{\sin \frac{x_1+x_2}{2}}{\cos \frac{x_1+x_2}{2}}$ $=\sin \frac{x_1+x_2}{2}\cdot \left(\frac{\cos \frac{x_1+x_2}{2}}{\cos x_1\cos x_2}-\frac{1}{\cos \frac{x_1+x_2}{2}}\right)$

对括号内进行通分： $\Delta =\sin \frac{x_1+x_2}{2}\cdot \frac{{\cos }^2\frac{x_1+x_2}{2}-\cos x_1\cos x_2}{\cos x_1\cos x_2\cos \frac{x_1+x_2}{2}}$

利用降幂公式 ${\cos }^2\theta =\frac{1+\cos 2\theta }{2}$ 以及积化和差公式 $\cos x_1\cos x_2=\frac{1}{2}[\cos (x_1+x_2)+\cos (x_1-x_2)]$ 化简分子： ${\cos }^2\frac{x_1+x_2}{2}-\cos x_1\cos x_2=\frac{1+\cos (x_1+x_2)}{2}-\frac{\cos (x_1+x_2)+\cos (x_1-x_2)}{2}$ $=\frac{1-\cos (x_1-x_2)}{2}$

代入 $\Delta$ 的表达式中，最终得： $\Delta =\frac{\sin \frac{x_1+x_2}{2}\cdot [1-\cos (x_1-x_2)]}{2\cos x_1\cos x_2\cos \frac{x_1+x_2}{2}}$

符号判定： 因为 $x_1,x_2\in \left(0,\frac{\pi }{2}\right)$ 且 $x_1\ne x_2$，所以：

1. $0<\frac{x_1+x_2}{2}<\frac{\pi }{2}⟹\sin \frac{x_1+x_2}{2}>0$ 且 $\cos \frac{x_1+x_2}{2}>0$；
2. $\cos x_1>0$ 且 $\cos x_2>0$；
3. 因为 $x_1\ne x_2⟹x_1-x_2\ne 0$，又 $-\frac{\pi }{2}<x_1-x_2<\frac{\pi }{2}$，所以 $\cos (x_1-x_2)<1$，由此得 $1-\cos (x_1-x_2)>0$。

综上所述，$\Delta$ 的分子与分母各项均大于 $0$，故 $\Delta >0$。 即： $\frac{1}{2}[f(x_1)+f(x_2)]>f\left(\frac{x_1+x_2}{2}\right)$ 命题得证。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：本题核心是考查三角恒等变换的综合运用（切化弦、两角和正弦、二倍角、积化和差等公式的打包考查）。 核心方法：比较法。处理这类结构对称的分式不等式，通分、降幂、因式分解是使结构清晰化的最严谨途径。 避坑指南：

• 变换过程中，极易在通分和公式展开时看错系数或漏掉分母中的 $2$。
• 证明完毕时，必须严格陈述为什么 $1-\cos (x_1-x_2)>0$，应当明确指出 $x_1\ne x_2⟹\cos (x_1-x_2)\ne 1$ 这一临界条件，否则扣除严谨分。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：本题考查的是初等函数凸性的代数证明。满足 $\frac{f(x_1)+f(x_2)}{2}>f\left(\frac{x_1+x_2}{2}\right)$ 的函数在几何上对应的是下凸图形。 结论推广（琴生不等式 Jensen’s Inequality）： 若利用高等数学导数工具，对 $f(x)=\tan x$ 连续求导： $f^{\prime }(x)={\sec }^{2}x$ $f^{\prime \prime }(x)=2{\sec }^{2}x\tan x$ 当 $x\in \left(0,\frac{\pi }{2}\right)$ 时，${\sec }^{2}x>0$ 且 $\tan x>0$，所以二阶导数 $f^{\prime \prime }(x)>0$。根据二阶导数符号与函数凹凸性的判定定理， $f^{\prime \prime }(x)>0$ 恒成立说明 $f(x)=\tan x$ 在该区间内为严格的下凸函数。 由凸函数性质，自然有琴生不等式成立，且可推广至 $n$ 个元的形式： $\frac{\tan x_1+\tan x_2+\cdots +\tan x_n}{n}\ge \tan \left(\frac{x_1+x_2+\cdots +x_n}{n}\right)$

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 03.01 不等式解法体系

类题演练 (Links)

• 1997-全国卷文-06 单-正切与余切不等式的区间
• 2005-全国卷II文-04 单-正切函数单调性定参
• 2004-广东卷理-11 单-正切函数的图象与单调性