1994-全国卷理-14 单-反三角函数的复合值域

本题导读

本题考查反三角函数的概念与性质（反余弦函数），以及复合函数的值域。

📌【题干】

Question

（1994年全国卷(理)） 函数 $y=\arccos (\sin x)$ $\left(-\frac{\pi }{3}<x<\frac{2\pi }{3}\right)$ 的值域是 ()

A. $\left(\frac{\pi }{6},\frac{5\pi }{6}\right)$　　　B. $\left[0,\frac{5\pi }{6}\right)$　　　C. $\left(\frac{\pi }{3},\frac{2\pi }{3}\right)$　　　　D. $\left[\frac{\pi }{6},\frac{2\pi }{3}\right)$

🔍【思路分析】

破题导航

换元法分析内层函数：令 $t=\sin x$，利用正弦函数的图象，求出当 $x\in \left(-\frac{\pi }{3},\frac{2\pi }{3}\right)$ 时，中间变量 $t$ 的取值范围。注意该区间跨越了正弦函数的极值点 $x=\frac{\pi }{2}$。 分析外层函数单调性：外层函数为 $y=\arccos t$。根据反余弦函数的性质，该函数在定义域 $[-1,1]$ 上是严格单调递减的。 结合端点与极值求值域：将 $t$ 的取值范围代入单调递减的反余弦函数中，注意区间端点的开闭状态，从而确定最终的值域。

✅【答案】

Success

B

✍【详细解析】

Abstract

求内层函数 $t=\sin x$ 的取值范围 已知 $-\frac{\pi }{3}<x<\frac{2\pi }{3}$。 根据正弦函数 $t=\sin x$ 的图象与单调性：

• 当 $x\in \left(-\frac{\pi }{3},\frac{\pi }{2}\right]$ 时，函数单调递增，最小临界值为 $\sin \left(-\frac{\pi }{3}\right)=-\frac{\sqrt{3}}{2}$，最大值为 $\sin \frac{\pi }{2}=1$；
• 当 $x\in \left[\frac{\pi }{2},\frac{2\pi }{3}\right)$ 时，函数单调递减，最小临界值为 $\sin \frac{2\pi }{3}=\frac{\sqrt{3}}{2}$。

综合两个单调区间，由于区间内部包含了最大值点 $x=\frac{\pi }{2}$（此时 $\sin x=1$），且两端点均为开区间， 所以 $t=\sin x$ 的取值范围为： $t\in \left(-\frac{\sqrt{3}}{2},1\right]$

求外层函数 $y=\arccos t$ 的取值范围 根据反余弦函数的基本性质，$y=\arccos t$ 在定义域 $[-1,1]$ 上为严格单调递减函数。 因此，当 $t\in \left(-\frac{\sqrt{3}}{2},1\right]$ 时：

• 当 $t=1$（最大值）时，取得最小值：$y_{\min }=\arccos 1=0$；
• 当 $t\to -\frac{\sqrt{3}}{2}$（开区间端点）时，取得上限临界值：$y_{\text{上限}}=\arccos \left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right)=\frac{5\pi }{6}$。

由于 $t=1$ 属于闭端点，而 $t=-\frac{\sqrt{3}}{2}$ 属于开端点，结合单调递减特性，函数的值域为： $y\in \left[0,\frac{5\pi }{6}\right)$

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：

• 反余弦函数 $y=\arccos t$ 的定义域为 $[-1,1]$，值域为 $[0,\pi ]$，且在全定义域内严格单调递减。
• 复合函数 $f(g(x))$ 的值域取决于内层函数的值域作为外层函数的定义域。 核心方法：整体换元法。处理复合函数问题时，分步理清“自变量 $\to$ 中间变量 $\to$ 因变量”的区间映射是通用且不易出错的逻辑。 避坑指南：
• 最大易错点：直接将原区间的两个端点 $-\frac{\pi }{3}$ 和 $\frac{2\pi }{3}$ 带入原方程计算，得到两个临界值 $\arccos \left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right)=\frac{5\pi }{6}$ 和 $\arccos \left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)=\frac{\pi }{6}$，从而误选 A。这种做法完全忽略了内层正弦函数在区间内部可以达到最大值 $1$ 的事实。务必注意：若区间包含极值点，绝对不能只代入端点。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：本题考查反三角函数的概念，是当年高考对高级基本初等函数（反三角函数）的一道经典能力测试题。 结论推广：利用诱导公式 $\sin x=\cos \left(\frac{\pi }{2}-x\right)$，原函数也可以转化为分段线性函数进行求解： $y=\arccos \left[\cos \left(\frac{\pi }{2}-x\right)\right]$ 当 $\frac{\pi }{2}-x\in [0,\pi ]$，即 $-\frac{\pi }{2}\le x\le \frac{\pi }{2}$ 时，原式直接化简为 $y=\frac{\pi }{2}-x$。 由此性质可以绘制出该复合函数的折线图，通过图像法能够更加直观、具象地观察到其在特定区间内的最值与值域分布。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 05.01 函数的概念
• 05.02 函数的四大性质

类题演练 (Links)

• 1996-全国卷理-08 单-诱导公式与反三角函数
• 1988-上海-12 单-反三角函数的复合
• 1985-上海理-12 单-反三角函数的定义