1994-全国卷理-12 单-反函数的图象识别

本题导读

本题考查反函数的概念与求法，以及函数的定义域与值域的关系。

📌【题干】

Question

（1994年全国卷(理)） 设函数 $f(x)=1-\sqrt{1-x^2}$（$-1\le x\le 0$），则函数 $y=f^{-1}(x)$ 的图象是 ()

🔍【思路分析】

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几何特征法（推荐）：分析原函数 $f(x)$ 对应的几何图形及区域。利用“互为反函数的两个函数图象关于直线 $y=x$ 对称”的性质，将原图形进行对称翻折，即可直观选出正确选项。 代数范围法：

• 求出原函数 $f(x)$ 的值域，该值域即为反函数 $f^{-1}(x)$ 的定义域。
• 利用反函数定义域（$x$ 的范围）和值域（$y$ 的范围，即原函数的定义域）直接在坐标系中锁定对应的象限区域。

✅【答案】

Success

B

✍【详细解析】

Abstract

原函数 $f(x)=1-\sqrt{1-x^2}$（$-1\le x\le 0$）移项得 $\sqrt{1-x^2}=1-y$，两边平方： $x^2+(y-1{)}^2=1$ 这是以 $(0,1)$ 为圆心、半径为 $1$ 的圆。因 $-1\le x\le 0$ 且 $\sqrt{1-x^2}\ge 0$（即 $y\le 1$）， 原函数图象是圆 $x^2+(y-1{)}^2=1$ 位于第二象限的左下圆弧段，连接点 $(-1,1)$ 与 $(0,0)$。

反函数 $y=f^{-1}(x)$ 的图象与原函数图象关于直线 $y=x$ 对称：

• 圆心 $(0,1)$ 对称得 $(1,0)$；
• 端点 $(-1,1)$ 对称得 $(1,-1)$；
• 原点 $(0,0)$ 对称后仍为 $(0,0)$。

故反函数图象是以 $(1,0)$ 为圆心、半径为 $1$ 的圆 $(x-1{)}^2+y^2=1$ 位于第四象限的圆弧段， 连接 $(0,0)$ 与 $(1,-1)$。反解：$\sqrt{1-x^2}=1-y$，$x^2=1-(1-y{)}^2$，因 $x\le 0$ 开方取负， 互换 $x,y$ 得 $y=-\sqrt{1-(1-x{)}^2}$（$0\le x\le 1$），即 $(x-1{)}^2+y^2=1$ 的下半弧。

该圆弧在原点 $(0,0)$ 处半径向量为 $(-1,0)$（水平向左），故原点处切线竖直； 到 $(1,-1)$ 处趋平。选项 (B) 中曲线自原点竖直下落、向右下方弯曲趋平，正合此圆弧特征。 故选 B。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：反函数的定义域与值域分别对应原函数的值域与定义域；函数 $y=f(x)$ 与 $y=f^{-1}(x)$ 的图象关于 $y=x$ 轴对称。 核心方法：图象选择题优先看范围（定义域/值域坐标区间），其次看特殊点（端点/交点），最后通过对称性或凹凸性做精准判别。 避坑指南：容易错选 (B)。(B) 和 (D) 都在第四象限，但 (B) 的弯曲方向及端点切线斜率对应的是类似抛物线或平方根函数的走势，而本题反函数本质是圆的一部分，在端点 $(1,-1)$ 处的切线应当水平，在 $(1,0)$ 处圆的切线垂直，故 D 的大曲率突变弧度完全符合圆的几何属性。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：本题将圆方程的单支裁剪为函数形式，考查反函数多步映射，是历年高考评价函数性质、反解法和轴对称图形直觉的标杆级基础题。 结论推广：形如 $f(x)=b\pm \sqrt{r^2-(x-a{)}^2}$ 的函数均属于圆弧分支。处理此类具有强几何背景的反函数图象题，直接将特征点（如圆心、端点）关于 $y=x$ 对称置换，往往比生硬地推导代数方程更加高效和精准。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 05.01 函数的概念

类题演练 (Links)

• 1998-上海文-04 填-反函数的求法
• 1999-上海文-02 填-反函数的定义域
• 1996-上海文-12 填-反函数的求法