1994-全国卷理-06 单-三角函数的周期性

本题导读

本题考查三角函数的周期性，以及复合三角函数的周期求法。

📌【题干】

Question

（1994年全国卷(理)） 在下列函数中，以 $\frac{\pi }{2}$ 为周期的函数是 ()

A. $y=\sin 2x+\cos 4x$　　　　　　　　　　　　　　　B. $y=\sin 2x\cos 4x$ C. $y=\sin 2x+\cos 2x$　　　　　　　　　　　　　　　D. $y=\sin 2x\cos 2x$

🔍【思路分析】

破题导航

逐项求周期：对各个选项中的函数进行分析。若能直接写出各部分的周期，则利用组合函数的周期性质（通常为各部分周期的最小公倍数）来确定总周期。 恒等变换化简：对于含有和差或积形式的选项，先利用三角恒等变换公式（如辅助角公式、二倍角公式、积化和差公式）将其化简为 $y=A\sin (\omega x+\phi )+C$ 的形式。 公式计算：利用标准正弦（余弦）函数的最小正周期公式 $T=\frac{2\pi }{|\omega |}$ 计算出周期，与 $\frac{\pi }{2}$ 进行比对。

✅【答案】

Success

D

✍【详细解析】

Abstract

A选项：函数 $y=\sin 2x+\cos 4x$。 $\sin 2x$ 的最小正周期为 $T_1=\frac{2\pi }{2}=\pi$；$\cos 4x$ 的最小正周期为 $T_2=\frac{2\pi }{4}=\frac{\pi }{2}$。 整个函数的最小正周期为 $T_1$ 和 $T_2$ 的最小公倍数，即 $T=\pi$。故 A 错误。

B选项：函数 $y=\sin 2x\cos 4x$。 利用积化和差公式化简： $y=\frac{1}{2}[\sin (2x+4x)+\sin (2x-4x)]=\frac{1}{2}\sin 6x-\frac{1}{2}\sin 2x$ $\sin 6x$ 的最小正周期为 $\frac{2\pi }{6}=\frac{\pi }{3}$；$\sin 2x$ 的最小正周期为 $\frac{2\pi }{2}=\pi$。 整个函数的最小正周期为 $\frac{\pi }{3}$ 与 $\pi$ 的最小公倍数，即 $T=\pi$。故 B 错误。

C选项：函数 $y=\sin 2x+\cos 2x$。 利用辅助角公式化简： $y=\sqrt{2}\sin \left(2x+\frac{\pi }{4}\right)$ 根据周期公式，其最小正周期为 $T=\frac{2\pi }{2}=\pi$。故 C 错误。

D选项：函数 $y=\sin 2x\cos 2x$。 利用正弦的二倍角公式 $\sin 2\alpha =2\sin \alpha \cos \alpha$ 化简： $y=\frac{1}{2}(2\sin 2x\cos 2x)=\frac{1}{2}\sin 4x$ 根据周期公式，其最小正周期为 $T=\frac{2\pi }{4}=\frac{\pi }{2}$。故 D 正确。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：形如 $y=A\sin (\omega x+\phi )$ 或 $y=A\cos (\omega x+\phi )$ 的函数，其最小正周期为 $T=\frac{2\pi }{|\omega |}$。 核心方法：对于三角函数的乘积形式（如 $\sin \omega x\cos \omega x$），务必先通过二倍角公式或积化和差公式将其降幂、化为单项系数形式后再求周期。 避坑指南：

• 易错点在 B 选项和 D 选项，直接将两个乘积项的周期相乘或错误组合。必须牢记：求三角函数周期前，必须先将函数化为最简形式。
• 区分 A 选项中两个不同周期函数相加的情况，整体周期取决于各部分周期的最小公倍数，而非其中某一个较小的周期。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：本题考查三角函数的图象与性质，源自课本中关于二倍角公式应用以及正弦型函数周期性质的经典组合题。 结论推广：对于函数 $y={\sin }^{n}x+{\cos }^{n}x$ 或 $y={\sin }^{n}x{\cos }^{n}x$ 等类型的周期性研究，可以通过多项式展开或二倍角公式实现整体周期的判定。例如，对于 $y={\sin }^k\omega x{\cos }^k\omega x=\frac{1}{2^k}{\sin }^{k}2\omega x$：

• 当 $k$ 为奇数时，最小正周期为 $\frac{2\pi }{|2\omega |}=\frac{\pi }{|\omega |}$；
• 当 $k$ 为偶数时（由于绝对值或平方对周期的折半作用），最小正周期为 $\frac{\pi }{|2\omega |}$。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 05.02 函数的四大性质
• 07.03 三角函数的图象与性质
• 10.02 倍角、降幂与升幂公式

类题演练 (Links)

• 1997-全国卷文-05 单-三角函数的最小正周期
• 1995-全国卷文-03 单-辅助角公式与最小正周期
• 1996-全国卷文-08 单-三角函数的最值