1994-上海理-24 解-抛物线围成面积与动点轨迹

本题导读

本题考查定积分求面积与动点轨迹。核心在于联立求交点后用定积分求面积，并用参数法求轨迹。

📌【题干】

Question

（1994年上海卷(理)） 如图，抛物线 $y=3x^2$ 和 $y=-x^2+4tx$ 交于原点 $O$ 和点 $A$.

(1)当 $t$ 是大于 $0$ 的常数时，求这两条抛物线所围成的图形的面积；

(2)过点 $A$ 作抛物线 $y=-x^2+4tx$ 的切线，该切线与抛物线 $y=3x^2$ 交于点 $P$，当 $t$ 在实数范围内变化时，求线段 $AP$ 的中点 $M$ 的轨迹方程，并说明轨迹是什么图形.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 联立求交点 $A$。
2. 用定积分求面积。
3. 求切线、交点 $P$、中点 $M$，消参得轨迹。

✅【答案】

Success

(1) $\frac{2}{3}{t}^3$

(2) 轨迹方程 $y=15x^2$，轨迹是抛物线

✍【详细解析】

Abstract

(1)解方程组 $\{\begin{array}{l}y=3x^2\\ y=-x^2+4tx\end{array}$ 得交点 $A(t,3t^2)$。故面积 $S={\int }_0^t\left[(-x^2+4tx)-3x^2\right]dx={\int }_0^t(-4x^2+4tx)dx=\frac{2}{3}{t}^3$。 (2)由 $y=-x^2+4tx$ 得 $y\prime =-2x+4t$，点 $A$ 处切线斜率 $y\prime {|}_{x=t}=2t$，切线方程为 $y=2tx+t^2$。解方程组 $\{\begin{array}{l}y=2tx+t^2\\ y=3x^2\end{array}$ 得 $x=-\frac{t}{3}$、$y=\frac{t^2}{3}$，即 $P\left(-\frac{t}{3},\frac{t^2}{3}\right)$。设 $AP$ 中点 $M(x,y)$，则 $\{\begin{array}{l}x=\frac{t-\frac{t}{3}}{2}=\frac{t}{3}\\ y=\frac{3t^2+\frac{t^2}{3}}{2}=\frac{5t^2}{3}\end{array}$，消去 $t$ 得 $y=15x^2$。故轨迹方程为 $y=15x^2$，轨迹是抛物线。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：抛物线围成面积与动点轨迹

核心方法：(1) 联立得交点 $A(t,3t^2)$，面积 $S={\int }_0^t[(-x^2+4tx)-3x^2]dx={\int }_0^t(-4x^2+4tx)dx=\frac{2}{3}{t}^3$；(2) $A$ 处切线斜率 $y\prime {|}_{x=t}=-2t+4t=2t$，切线 $y=2tx+t^2$，与 $y=3x^2$ 交于 $P(-\frac{t}{3},\frac{t^2}{3})$，中点 $M(\frac{t}{3},\frac{5t^2}{3})$，消 $t$ 得 $y=15x^2$，轨迹为抛物线

避坑指南：定积分求面积 + 参数法求轨迹

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：源于教材定积分与轨迹

结论推广：一般地，定积分求面积、参数法求轨迹

方法推广：定积分求面积 + 参数法求轨迹

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 18.03 抛物线专题全总结

类题演练 (Links)

• 1995-上海理-22B 解-二次函数与定积分等分面积
• 1996-上海文-22B 解-抛物线的切线与面积
• 1994-全国卷文-24 解-轨迹方程