1994-上海理-16 单-复数的乘方与单位根

本题导读

本题考查复数的乘方与单位根，以及三角形式的运用。

📌【题干】

Question

（1994年上海卷(理)） 设复数 $z=-\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}i$（$i$ 为虚数单位），则满足等式 $z^n=z$，且大于 $1$ 的正整数 $n$ 中最小的是 ()

A.$3$　　B.$4$　　C.$6$　　D.$7$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 把 $z$ 写为三角形式。
2. 由 $z^{n-1}=1$ 求最小 $n$。

✅【答案】

Success

B

✍【详细解析】

Abstract

$z=-\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}i=\cos \frac{2\pi }{3}+i\sin \frac{2\pi }{3}$，故 $z^3=1$。由 $z^n=z$ 得 $z^{n-1}=1$，即 $3\mid (n-1)$。大于 $1$ 的最小正整数为 $n=4$。故选 B

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：复数的乘方与单位根

核心方法：$z=-\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}i=\cos \frac{2\pi }{3}+i\sin \frac{2\pi }{3}$，$z^3=1$，故 $z^n=z$ 需 $z^{n-1}=1$，即 $3\mid (n-1)$，最小 $n=4$

避坑指南：三角形式用单位根

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：源于教材复数的三角形式

结论推广：一般地，用单位根性质

方法推广：三角形式用单位根

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 12.01 数系的扩充与复数

类题演练 (Links)

• 1995-上海理-22A 解-复数的三角形式与方程
• 1995-上海理-20B 填-复数的除法运算
• 1994-全国卷文-09 单-复数模的几何意义