1993-旧高考理-29 解-实系数二次方程根的分布

本题导读

本题考查一元二次方程根的分布与系数的关系。核心在于识别原题面的条件是否成立，并据韦达定理构造反例判断命题真伪。

📌【题干】

Question

（1993年旧高考(理)） 已知关于 $x$ 的实系数二次方程 $x^2+ax+b=0$ 有两个实数根 $\alpha$、$\beta$.证明：

(1) 如果 $|\alpha |<2$，$|\beta |<2$，那么 $2|\alpha |<4+b$ 且 $|b|<4$；

(2) 如果 $2|\alpha |<4+b$ 且 $|b|<4$，那么 $|\alpha |<2$，$|\beta |<2$.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 由韦达定理，$b=\alpha \beta$，$a=-(\alpha +\beta )$。
2. 检验第 (1) 条：取满足 $|\alpha |<2$、$|\beta |<2$ 的 $\alpha$、$\beta$，看 $2|\alpha |<4+b$ 是否恒成立。
3. 检验第 (2) 条：取满足 $2|\alpha |<4+b$、$|b|<4$ 的 $\alpha$、$\beta$，看 $|\alpha |<2$、$|\beta |<2$ 是否恒成立。

✅【答案】

Success

按原题面两条命题均不成立（可由反例说明），不能给出有效证明

✍【详细解析】

Abstract

按原题面，题中两条命题均不成立，因此不能给出有效的证明。由韦达定理，$b=\alpha \beta$，可以直接构造反例。 (1) 取 $\alpha =\frac{3}{2}$，$\beta =-\frac{19}{10}$，则 $|\alpha |<2$，$|\beta |<2$，且对应的实系数二次方程为 $x^2-(\alpha +\beta )x+\alpha \beta =x^2+\frac{2}{5}x-\frac{57}{20}=0$。 但是 $2|\alpha |=3>\frac{23}{20}=4+b$，而 $|b|=\frac{57}{20}<4$。所以第 (1) 条中的第一个不等式不成立。 (2) 取 $\alpha =\frac{5}{2}$，$\beta =\frac{3}{2}$，则对应的实系数二次方程为 $x^2-4x+\frac{15}{4}=0$。 此时 $2|\alpha |=5<\frac{31}{4}=4+b$，$|b|=\frac{15}{4}<4$，但 $|\alpha |=\frac{5}{2}>2$。所以第 (2) 条的结论也不成立。 因此，第 29 题的原题面存在客观矛盾；本稿保留原题面，不能将其改写成另一道题。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：一元二次方程根的分布与韦达定理 核心方法：由 $b=\alpha \beta$ 构造反例判定命题真伪 避坑指南：原题面两条命题均不成立，不能按“根均落在 $(-2,2)$ 内”强行证明，须以反例揭示题面矛盾

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：源于一元二次方程根与系数的关系（韦达定理） 结论推广：本题原题面存在印刷错误，条件中的 $2|\alpha |$ 若改为 $2|a|$ 命题方可成立 方法推广：判定“对任意…都成立”的命题，优先尝试构造反例否定

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 18.17 非对称韦达题型总结

类题演练 (Links)

• 1977-湖南-03 解-韦达定理求参数
• 1957-全国-09 解-三次方程根为正弦求角
• 1958-四川-04 解-韦达定理与正切倍角