1993-旧高考理-20 填-圆锥轴截面的实际应用

本题导读

本题考查圆锥的轴截面与几何性质，以及解直角三角形（特殊角的三角函数）。

📌【题干】

Question

（1993年旧高考(理)） 在半径为 $30\text{ m}$ 的圆形广场中央上空，设置一个照明光源，射向地面的光呈圆锥形，且其轴截面顶角为 120°.若要光源恰好照亮整个广场，则其高度应为 $\underline{}$ $\text{m}$（精确到 $0.1\text{ m}$）.

🔍【思路分析】

破题导航

构建几何因式：光源所在的点即为圆锥的顶点，照亮的圆形广场即为圆锥的底面。 提取平面截面：作圆锥的轴截面，得到一个等腰三角形。

• 顶角为 120°；
• 底边长等于广场的直径，因此底边的一半（即底面半径）为 $r=30\text{ m}$；
• 圆锥的高 $h$ 即为光源所需设置的高度。 利用三角函数解直角三角形：从顶点向底边作垂线，将等腰三角形平分为两个直角三角形。利用 60° 角的正切值或余切值建立 $h$ 与 $r$ 的代数方程。 化简求出近似值：代入数据计算，并按要求精确到 $0.1\text{ m}$。

✅【答案】

Success

$17.3$

✍【详细解析】

Abstract

解： 根据题意，将照明光线抽象为圆锥模型。设圆锥的顶点为 $S$（光源位置），圆锥底面中心为 $O$（广场中央）。

作该圆锥的轴截面，得到一个等腰三角形 $△SAB$，其中 $SA,SB$ 为圆锥的母线，底边 $AB$ 为广场的直径。 由题意可知：

• 轴截面顶角 $\angle ASB=120^{\circ }$；

• 广场半径 $OA=OB=30\text{ m}$；

• 圆锥的高 $SO=h$，即为所求的光源高度。

因为 $△SAB$ 是等腰三角形，且 $SO\perp AB$ 于点 $O$，根据三线合一性质， $SO$ 平分顶角 $\angle ASB$： $\angle ASO=\frac{1}{2}\angle ASB=\frac{1}{2}\times 120^{\circ }=60^{\circ }$

在直角三角形 $△SOA$ 中， $\angle SOA=90^{\circ }$， $\angle ASO=60^{\circ }$。 根据锐角三角函数的定义，有： $\tan \angle ASO=\frac{OA}{SO}⟹\tan 60^{\circ }=\frac{30}{h}$

已知 $\tan 60^{\circ }=\sqrt{3}$，代入上式中： $\sqrt{3}=\frac{30}{h}⟹h=\frac{30}{\sqrt{3}}=10\sqrt{3}$

取 $\sqrt{3}\approx 1.732$ 进行近似值计算： $h\approx 10\times 1.732=17.32\text{ m}$

题目要求结果精确到 $0.1\text{ m}$，根据四舍五入原则，对百分位上的数字 2 进行舍去，得： $h\approx 17.3\text{ m}$

后答：17.3

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：圆锥轴截面的几何对称性质，直角三角形中的边角三角函数关系（$\tan 60^{\circ }=\sqrt{3}$）。
2. 核心方法：轴截面平移降维法。
3. 避坑指南：
   • 混淆半角关系：作高线后，直角三角形内的锐角是 $60^{\circ }$（顶点处）和 $30^{\circ }$（底角处）。在写正切公式时，极易因看错角而将比例写反，误算成 $h=30\times \sqrt{3}\approx 52.0\text{ m}$。
   • 未按精度要求保留：填空题中若直接写最简二次根式 $10\sqrt{3}$ 或者是未按要求保留到一位小数（如写成 17 或 17.32），将会被严格扣分。务必看清“精确到 $0.1\text{ m}$”的数位约束。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：本题属于立体几何与三角函数交汇的经典应用优化题。取材于初高中衔接教材中关于“解直角三角形的实际应用”及立体几何“圆锥的性质”两节的综合拓展题。
2. 结论推广：若圆形广场的半径为 $r$，照明光源的光束圆锥轴截面顶角为 $\alpha$，则要使光源恰好照亮整个广场，光源的设置高度 $h$ 满足通用推广通式： $h=\frac{r}{\tan \frac{\alpha }{2}}=r\cdot \cot \frac{\alpha }{2}$ 本题中 $r=30,\alpha =120^{\circ }⟹\frac{\alpha }{2}=60^{\circ }$，直接代入得 $h=30\cdot \cot 60^{\circ }=30\times \frac{\sqrt{3}}{3}=10\sqrt{3}\text{ m}$。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 17.01 圆的方程与圆系理论
• 07.03 三角函数的图象与性质

类题演练 (Links)

• 1988-上海-05 填-圆锥的轴截面
• 1953-全国-05 解-诱导公式求正切
• 1955-全国-03 解-直角三角形垂线比例中项