1993-旧高考理-13 单-正棱锥的存在性判定

本题导读

本题考查正棱锥的几何结构与定义，以及正多边形的外接圆半径与边长关系。

📌【题干】

Question

（1993年旧高考(理)） 若正棱锥的底面边长与侧棱长相等，则该棱锥一定不是 ()

A. 三棱锥　　　　B. 四棱锥　　　　C. 五棱锥　　　　D. 六棱锥

🔍【思路分析】

破题导航

构建空间直角三角形：设该正 $n$ 棱锥的底面边长为 $a$，侧棱长也为 $a$。 确定底面外接圆半径：正棱锥的顶点在底面的射影是底面正 $n$ 多边形的中心。因此，侧棱、棱锥的高以及底面外接圆半径 $R$ 构成一个直角三角形。 列出高度存在性约束：根据勾股定理，棱锥的高 $h=\sqrt{a^2-R^2}$。要使该棱锥在空间中真实存在，其高度必须严格大于 0，即必须满足 $a>R$。 计算各多边形的 $R$ 与 $a$ 的关系：通过计算正三、四、五、六多边形的外接圆半径 $R$ 与边长 $a$ 的定量比例，找出不满足 $a>R$ 的极端情况。

✅【答案】

Success

D

✍【详细解析】

Abstract

解： 设该正 $n$ 棱锥的底面边长为 $a$，侧棱长为 $a$，棱锥的高为 $h$。 设底面正 $n$ 多边形的外接圆半径为 $R$。

根据正棱锥的几何性质，棱锥的顶点、底面中心、底面任意一个顶点三者构成一个直角三角形。 其中斜边为侧棱长 $a$，一条直角边为底面外接圆半径 $R$，另一条直角边为棱锥的高 $h$。

根据勾股定理可得： $h^2+R^2=a^2⟹h=\sqrt{a^2-R^2}$

若该正棱锥在三维空间中能够真实存在（即顶点能够“立”在底面之上，不退化为平面），则其高度 $h$ 必须严格大于 0： $h>0⟹a^2-R^2>0⟹R<a$

下面我们分别计算正三角形、正方形、正五边形、正六边形的外接圆半径 $R$ 与边长 $a$ 的代数关系：

• 对于正三棱锥（A 选项）： 底面为正三角形，外接圆半径 $R=\frac{\sqrt{3}}{3}a$。因为 $\frac{\sqrt{3}}{3}\approx 0.58<1$，满足 $R<a$，高度 $h>0$，可以构成正三棱锥（即正四面体）。
• 对于正四棱锥（B 选项）： 底面为正方形，外接圆半径 $R=\frac{\sqrt{2}}{2}a$。因为 $\frac{\sqrt{2}}{2}\approx 0.707<1$，满足 $R<a$，高度 $h>0$，可以构成正四棱锥。
• 对于正五棱锥（C 选项）： 底面为正五边形，外接圆半径 $R=\frac{a}{2\sin 36^{\circ }}$。因为 $\sin 36^{\circ }\approx 0.588⟹R\approx 0.85a<a$，满足 $R<a$，高度 $h>0$，可以构成正五棱锥。
• 对于正六棱锥（D 选项）： 底面为正六边形。正六边形可以分割为 6 个全等的正三角形，因此其外接圆半径严格等于其边长，即： $R=a$ 将 $R=a$ 代入高度计算公式中： $h=\sqrt{a^2-a^2}=0$

当 $h=0$ 时，意味着棱锥的顶点不得不落在底面正六边形的中心上。此时，侧面的 6 个正三角形将全部平铺在底面内，整个几何体退化为一个二维平面图形，无法在三维空间中构成棱锥。

综上所述，该棱锥一定不是正六棱锥。

故选 D

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：正棱锥的射影垂直性质，正多边形边长与外接圆半径的几何计算，立体几何图形的退化临界存在条件。
2. 核心方法：射影勾股定理法、极端边界分析法。
3. 避坑指南：
   • 极易忽略 $h>0$ 这一隐藏的空间存在性限制，从而无从下手。
   • 牢记正六边形的核心不变量性质：正六边形的边长无条件等于其外接圆半径。利用这一常识可以免去三角函数的计算，直接本题。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：本题属于立体几何结构辨析板块的经典不变量设计题。取材于高中立体几何教材中关于“正棱锥的性质与画法”一节的探究延伸思考题。
2. 结论推广：
   • 一般地，当正 $n$ 棱锥的底面边长与侧棱长相等时，其底面正多边形的中心角的一半为 $\frac{180^{\circ }}{n}$。根据外接圆半径公式 $R=\frac{a}{2\sin \frac{180^{\circ }}{n}}$，存在性条件 $R<a$ 等价于： $2\sin \frac{180^{\circ }}{n}>1⟹\sin \frac{180^{\circ }}{n}>\frac{1}{2}⟹\frac{180^{\circ }}{n}>30^{\circ }⟹n<6$
   • 该推广模型表明，只有当 $n=3,4,5$ 时，侧棱长等于底面边长的正 $n$ 棱锥才存在；当 $n\ge 6$ 时，此类棱锥在空间中均因“高无法大于零”而无法立起。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 13.01 空间几何体的结构、表面积与体积
• 17.01 圆的方程与圆系理论

类题演练 (Links)

• 1958-广东-07 解-同心圆中求线段长
• 1952-全国-22 解-外分角线证等弦
• 1953-全国-09 解-直三棱柱的体积