1993-旧高考理-09 单-参数方程表示的曲线

本题导读

本题考查参数方程与普通方程的互化，以及曲线与方程的轨迹概念。

📌【题干】

Question

（1993年旧高考(理)） 曲线的参数方程为 $\{\begin{array}{l}x=3t^2+2\\ y=t^2-1\end{array}$ ($0\le t\le 5$)，则曲线是 ()

A. 线段　　　　B. 双曲线的一支　　　　C. 圆弧　　　　D. 射线

🔍【思路分析】

破题导航

整体消参：观察两个方程，均含有相同的参数组合结构 $t^2$。可以由第二个方程解出 $t^2=y+1$，然后整体代入第一个方程中消去参数 $t$。 分析轨迹轨迹形状：消参后得到关于 $x$ 和 $y$ 的一次二元方程，这在几何形态上对应一条直线（或直线的某一部分）。因此，直接排除 B、C。 精准限幅范围：利用已知约束条件 $0\le t\le 5$，分别求出因变量 $x$（或 $y$）的定义域区间。由于 $x$ 和 $y$ 的取值区间均为有限闭区间，说明该轨迹只能是直线上的一段有界局部，即线段。

✅【答案】

Success

A

✍【详细解析】

Abstract

解： 给定曲线的参数方程为： \begin{cases} x = 3t^2 + 2 \tag{1} \\ y = t^2 - 1 \tag{2} \end{cases} \quad (0 \le t \le 5)

由方程 (2) 移项，可将参数整体 $t^2$ 用 $y$ 表示： t^2 = y + 1 \tag{3}

将 (3) 式整体代入方程 (1) 中消去参数 $t$： $x=3(y+1)+2$ $x=3y+5⟹x-3y-5=0$ 因为消参后的普通方程是关于 $x,y$ 的一次方程，所以在不受范围限制时，其几何轨迹在直角坐标系中代表一条直线。

接下来，必须严格根据参数 $t$ 的取值范围 $0\le t\le 5$ 来确定坐标的动态边界。 因为 $0\le t\le 5$，对各项平方可得： $0\le t^2\le 25$

将此范围分别代入 $x$ 和 $y$ 的代数表达式中：

1. 对于 $x=3t^2+2$： $3\times 0+2\le x\le 3\times 25+2⟹2\le x\le 77$
2. 对于 $y=t^2-1$： $0-1\le y\le 25-1⟹-1\le y\le 24$

由此可知，坐标 $(x,y)$ 被严格限制在有限长区间内变动，实轴上的波及范围有始有终。 因此，该参数方程对应的几何轨迹不是整条直线，也不是单向延伸的射线，而是直线段上从点 $(2,-1)$ 到点 $(77,24)$ 的一段线段。

故选 A

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：参数方程消参的整体替换思想，轨迹问题中“步骤等价性与范围限制”的严谨性。
2. 核心方法：整体代换消参法、不等式区间限幅法。
3. 避坑指南：
   • 最大的陷阱在于“光消参、不看范围”。很多考生通过代换算出 $x=3y+5$ 后，一看到是一次方程对应的直线结构，由于选项中没有“直线”，就凭直觉盲目认为直线可以无限延伸从而错选 D（射线）。务必牢记：参数方程化普通方程，必须“步步看范围”，缺少范围限制的消参是不完整的。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：本题属于参数方程板块的经典“陷阱”选择题。取材于高中代数选修教材中“参数方程与普通方程互化”一节的常见辨析例题，主要考查学生思维的严谨度。
2. 结论推广：对于任意形如 $\{\begin{array}{l}x=f(t)\\ y=g(t)\end{array}$ ($t\in [a,b]$) 的参数方程，若消参后得到的普通方程是线性的，且 $f(t)$ 和 $g(t)$ 在闭区间 $[a,b]$ 上连续，则其轨迹图形在几何上必然表现为一条线段。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 18.16 参数方程与复数变换
• 18.08 一般曲线与方程
• 27.02 参数方程

类题演练 (Links)

• 1989-上海-20 单-参数方程与曲线
• 1987-广东文-30 填-函数的值域
• 1988-上海-04 填-参数方程化普通方程