1993-旧高考理-03 单-圆锥的轴截面顶角

本题导读

本题考查圆锥的侧面积与底面积公式，以及圆锥的轴截面及其几何性质。

📌【题干】

Question

（1993年旧高考(理)） 当圆锥的侧面积和底面积的比值是 $\sqrt{2}$ 时，圆锥的轴截面顶角是 ()

A. 45°　　　　　B. 60°　　　　　　C. 90°　　　　　　D. 120°

🔍【思路分析】

破题导航

建立面积代数关系：设圆锥的底面半径为 $r$，母线长为 $l$。

• 底面积为 $S_{\text{底}}=\pi r^2$；
• 侧面积为 $S_{\text{侧}}=\pi rl$。 推导边长比例：由 $\frac{S_{\text{侧}}}{S_{\text{底}}}=\sqrt{2}$，代入公式消项求出 $l$ 与 $r$ 的比值。 轴截面定量计算：圆锥的轴截面是一个腰长为 $l$、底边长为 $2r$ 的等腰三角形。设顶角为 $\alpha$，利用正弦倍角关系（或余弦定理）求解 $\alpha$。

✅【答案】

Success

C

✍【详细解析】

Abstract

解： 设圆锥的底面半径为 $r$，母线长为 $l$，轴截面的顶角为 $\alpha$。

根据圆锥的面积计算公式： $\text{底面积 }{S}_{\text{底}}=\pi r^2$ $\text{侧面积 }{S}_{\text{侧}}=\pi rl$

由题意已知，侧面积和底面积的比值是 $\sqrt{2}$，即： $\frac{\pi rl}{\pi r^2}=\sqrt{2}⟹\frac{l}{r}=\sqrt{2}⟹l=\sqrt{2}r$

圆锥的轴截面是通过圆锥轴线的截面，它是一个等腰三角形，两腰长度均为母线长 $l$，底边长度为底面直径 $2r$。 自顶角顶点向底边作垂线（即圆锥的高），垂线平分底边和顶角。 在分出的直角三角形中，顶角的一半为 $\frac{\alpha }{2}$，对边为 $r$，斜边为 $l$。

根据正弦函数的定义，有： $\sin \frac{\alpha }{2}=\frac{r}{l}$

将 $l=\sqrt{2}r$ 代入： $\sin \frac{\alpha }{2}=\frac{r}{\sqrt{2}r}=\frac{1}{\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}$

因为 $\frac{\alpha }{2}$ 是直角三角形中的锐角（$0^{\circ }<\frac{\alpha }{2}<90^{\circ }$），所以： $\frac{\alpha }{2}=45^{\circ }⟹\alpha =90^{\circ }$

即圆锥的轴截面顶角是 90°。

故选 C

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：圆锥的侧面积公式 $S_{\text{侧}}=\pi rl$，轴截面的等腰三角形几何模型及直角三角形解法。
2. 核心方法：几何元素比例变换法。
3. 避坑指南：
   • 轴截面等腰三角形的底边是直径 $2r$，而不是半径 $r$。如果在用余弦定理时误将底边算作 $r$，将导致计算错误。
   • 算得 $\sin \frac{\alpha }{2}=\frac{\sqrt{2}}{2}$ 后得出 $\frac{\alpha }{2}=45^{\circ }$，注意题目问的是整个顶角 $\alpha$，切勿粗心误选 A。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：本题属于空间几何体板块的经典大纲基础题，取材于高中立体几何教材中“圆锥的表面积与体积”一节的课后典型辨析练习。
2. 结论推广：若已知圆锥的侧面积与底面积的比值为 $k$ ($k>1$)，则必有 $l=kr$。其轴截面顶角 $\alpha$ 的半角正弦值满足推广公式 $\sin \frac{\alpha }{2}=\frac{1}{k}$。本题中 $k=\sqrt{2}$，代入直接口算得 $\sin \frac{\alpha }{2}=\frac{\sqrt{2}}{2}⟹\alpha =90^{\circ }$。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 17.01 圆的方程与圆系理论
• 07.03 三角函数的图象与性质

类题演练 (Links)

• 1958-河北-04 解-圆锥平行截面的侧面积
• 1988-上海-05 填-圆锥的轴截面
• 2006-四川文-08 单-阿氏圆轨迹面积