1993-新高考文-04 单-虚数单位幂的周期性

本题导读

本题考查虚数单位幂的周期性，以及复数四则运算。

📌【题干】

Question

（1993年新高考(文)） $i^{2n-3}+i^{2n-1}+i^{2n+1}+i^{2n+3}$ 的值为 ()

A. -2　　　　　　　B. 0　　　　　　　C. 2　　　　　　　D. 4

🔍【思路分析】

破题导航

提出 $i^{2n-3}$，括号内 $1+i^2+i^4+i^6=1-1+1-1=0$。

✅【答案】

Success

B

✍【详细解析】

Abstract

$i^{2n-3}+i^{2n-1}+i^{2n+1}+i^{2n+3}=i^{2n-3}\left(1+i^2+i^4+i^6\right)=i^{2n-3}(1-1+1-1)=0$，选 B。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：虚数单位幂的周期性

核心方法：$i^{2n-3}(1+i^2+i^4+i^6)=i^{2n-3}(1-1+1-1)=0$

避坑指南：$i^{4k}=1$ 的周期性提公因后四项和为零

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：源于复数运算

结论推广：$i^{4k+r}$ 按 $r=0,1,2,3$ 循环

方法推广：高次幂按模 $4$ 余数归类

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 12.01 数系的扩充与复数

类题演练 (Links)

• 1994-上海-16 单-复数的乘方与单位根
• 1994-上海文-16 单-复数的乘方与单位根
• 1999-全国卷文-03 单-反函数值的求法