1993-新高考理-22 填-均值不等式与造价最值

本题导读

本题考查长方体体积与表面积公式，以及基本不等式（均值不等式）求最值。

📌【题干】

Question

（1993年新高考(理)） 建造一个容积为 $8{\text{ m}}^3$，深为 $2\text{ m}$ 的长方体无盖水池. 如果池底和池壁的造价每平方米分别为 $120$ 元和 $80$ 元，那么水池的最低总造价为$\underline{}$元.

🔍【思路分析】

破题导航

设元建构：设长方体水池底面的长为 $x\text{ m}$，宽为 $y\text{ m}$。 利用已知条件消元：根据长方体体积公式 $V=\text{长}\times \text{宽}\times \text{高}$，由 $V=8$，$\text{高}=2$，求出底面积 $xy=4$，进而可用 $x$ 表示 $y=\frac{4}{x}$。 建立造价目标函数：总造价由“底面造价”和“四个侧面（池壁）造价”组成。写出关于 $x$ 的总造价函数关系式。 基本不等式求最值：利用基本不等式 $a+b\ge 2\sqrt{ab}$（$a,b>0$）求出造价的最小值，并验证等号成立的条件。

✅【答案】

Success

$1760$

✍【详细解析】

Abstract

设水池底面的长为 $x\text{ m}$，宽为 $y\text{ m}$（$x>0,y>0$）。 已知水池深为 $2\text{ m}$，容积为 $8{\text{ m}}^3$，则： $V=x\cdot y\cdot 2=8⟹xy=4$

水池为无盖长方体，其各部分的面积分别为：

• 底面积：$S_{\text{底}}=xy=4{\text{ m}}^2$
• 侧面积（池壁）：$S_{\text{侧}}=2\cdot 2x+2\cdot 2y=4(x+y){\text{ m}}^2$

根据题意，底面单价为 $120$ 元/${\text{m}}^2$，池壁单价为 $80$ 元/${\text{m}}^2$，设总造价为 $y_{\text{造价}}$ 元： $y_{\text{造价}}=120\cdot S_{\text{底}}+80\cdot S_{\text{侧}}$ $y_{\text{造价}}=120\times 4+80\times 4(x+y)=480+320(x+y)$

由于 $x,y>0$，应用基本不等式得： $x+y\ge 2\sqrt{xy}$

将 $xy=4$ 代入上式： $x+y\ge 2\sqrt{4}=4$

因此，总造价的最小值为： $y_{\text{造价}}\ge 480+320\times 4=480+1280=1760$

当且仅当 $x=y$ 且 $xy=4$，即 $x=y=2\text{ m}$（底面为正方形）时，等号成立。

答案： 1760

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：函数建模、基本不等式 $a+b\ge 2\sqrt{ab}$ 求最值。 核心方法：通过条件消元建立一元（或保留双变量直接用积为定值）的目标函数，再利用均值不等式求解。 避坑指南：

• 注意关键词“无盖”，计算表面积时只能算 1 个底面和 4 个侧面，不要习惯性加上顶盖。
• 使用基本不等式时，务必验证“一正（$x,y>0$）、二定（$xy=4$ 为定值）、三相等（$x=y=2$ 可取到）”三个条件，确保最值能够真实存在。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：本题来源于高中教材中不等式应用题的经典原题。利用几何模型的定值关系来寻求经济效益最大化（成本最低），是高考应用题的常考框架。 结论推广：建造一个容积为 $V$，深为 $h$ 的无盖长方体水池，若池底造价单价为 $P_1$，池壁造价单价为 $P_2$，则底面积为 $S_{\text{底}}=\frac{V}{h}$。总造价为 $Y=P_1\cdot \frac{V}{h}+2P_2\cdot h(x+y)$。由于 $xy=\frac{V}{h}$，则最低总造价一般化公式为： $Y_{\min }=P_1\cdot \frac{V}{h}+4P_2\sqrt{Vh}$ 此时底面必为正方形，边长为 $\sqrt{\frac{V}{h}}$。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 13.01 空间几何体的结构、表面积与体积
• 03.02 均值不等式

类题演练 (Links)

• 1986-广东理-10 单-均值不等式求最值
• 1953-全国-10 解-球的表面积与体积
• 1998-全国卷文-24 解-基本不等式的实际应用