1993-新高考理-15 单-等比数列两项和的大小比较

本题导读

本题考查等比数列的性质，以及基本不等式（均值不等式）。

📌【题干】

Question

（1993年新高考(理)）已知 $a_{1}, a_{2}, \dots, a_{8}$ 为各项都大于零的等比数列，公比 $q \neq = 1$ ，则 ()

A. $a_{1} + a_{8} > a_{4} + a_{5}$ B. $a_{1} + a_{8} < a_{4} + a_{5}$ C. $a_{1} + a_{8} = a_{4} + a_{5}$ D. $a_{1} + a_{8}$ 和 $a_{4} + a_{5}$ 的大小关系不能由已知条件确定

🔍【思路分析】

破题导航

第一步： 利用等比数列的项数性质，注意到 $1 + 8 = 4 + 5 = 9$ ，根据等比数列的性质可知 $a_{1} \cdot a_{8} = a_{4} \cdot a_{5}$ 。

第二步逻辑（方法一）： 利用作差法，将 $(a_{1} + a_{8}) - (a_{4} + a_{5})$ 变形。用首项 $a_{1}$ 和公比 $q$ 统一各顶，提取公因式进行因式分解，利用 $a_{1} > 0, q > 0$ 且 $q \neq = 1$ 判定差值的正负。

第三步逻辑（方法二）： 视 $a_{1}, a_{8}$ 与 $a_{4}, a_{5}$ 为两组正数。由于两组数的积相等，利用“积定，两数差值越大，其和越大”的代数结论，或者直接通过基本不等式变型来快速确定大小关系。

✅【答案】

Success

A

✍【详细解析】

Abstract

方法一：作差因式分解法（严谨论证） 设等比数列的首项为 $a_{1} > 0$ ，公比为 $q > 0$ （且 $q \neq = 1$ ）。将各项用 $a_{1}$ 和 $q$ 表示： $a_{4} = a_{1} q^{3}, a_{5} = a_{1} q^{4}, a_{8} = a_{1} q^{7}$ 对两式进行作差： $(a_{1} + a_{8}) - (a_{4} + a_{5}) = (a_{1} + a_{1} q^{7}) - (a_{1} q^{3} + a_{1} q^{4}) = a_{1} (1 - q^{3} - q^{4} + q^{7})$ 对括号内部多项式进行分组分解因式： $1 - q^{3} - q^{4} + q^{7} = (1 - q^{3}) - q^{4} (1 - q^{3}) = (1 - q^{3}) (1 - q^{4})$ 故： $(a_{1} + a_{8}) - (a_{4} + a_{5}) = a_{1} (1 - q^{3}) (1 - q^{4})$ 下面讨论公比 $q$ 的范围对符号的影响：

当 $0 < q < 1$ 时： $1 - q^{3} > 0$ 且 $1 - q^{4} > 0$ ，因此它们的乘积 $(1 - q^{3}) (1 - q^{4}) > 0$ ；

当 $q > 1$ 时： $1 - q^{3} < 0$ 且 $1 - q^{4} < 0$ ，根据负负得正，它们的乘积 $(1 - q^{3}) (1 - q^{4}) > 0$ 。

因为 $a_{1} > 0$ 且 $q \neq = 1$ ，所以在所有合法范围内均有： $(a_{1} + a_{8}) - (a_{4} + a_{5}) > 0 ⟹ a_{1} + a_{8} > a_{4} + a_{5}$ 故正确答案为：A

方法二：特值排除法（考场） 令 $a_{1} = 1$ ，取特值 $q = 2$ ： $a_{4} = 8, a_{5} = 16, a_{8} = 128$ 此时： $a_{1} + a_{8} = 1 + 128 = 129$ $a_{4} + a_{5} = 8 + 16 = 24$ $129 > 24$ ，即 $a_{1} + a_{8} > a_{4} + a_{5}$ 。直接排除 B、C、D。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点： 等比数列中若 $m + n = p + q$ ，则 $a_{m} \cdot a_{n} = a_{p} \cdot a_{q}$ 这一核心性质的衍生应用。

核心方法： 因式分解的对称性。在解析几何或代数多项式作差中，形如 $(1 - q^{m}) (1 - q^{n})$ 的式子，不论 $q > 1$ 还是 $0 < q < 1$ ，两括号内的单项式符号总是保持同步（同正或同负），其乘积恒为正数。

避坑指南： 部分同学容易混淆等差数列与等比数列的性质。在等差数列中，若 $1 + 8 = 4 + 5$ ，则有 $a_{1} + a_{8} = a_{4} + a_{5}$ （对应 C 选项结构）；而本题是等比数列，项相加之间无直接等量关系，必须转化为乘积或进行范围讨论。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源： 本题属于数列与不等式交汇的经典基础题，旨在考查初等代数中的基本比较法（作差法）与因式分解基本功。

结论推广（等比数列两项和的大小定理）： 对于各项均为正数的等比数列，若公比 $q \neq = 1$ ，且满足下标满足 $m + n = p + j$ 。若 $∣ m - n ∣ > ∣ p - j ∣$ （即两组下标中，外侧的一组距离越远），则必有： $a_{m} + a_{n} > a_{p} + a_{j}$ 本题应用： 下标组合 ${1, 8}$ 的距离 $∣1 - 8∣ = 7$ ，而 ${4, 5}$ 的距离 $∣4 - 5∣ = 1$ 。因为 $7 > 1$ ，所以不需要计算即可断定 $a_{1} + a_{8} > a_{4} + a_{5}$ 。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

19.02 等比数列全总结

03.02 均值不等式

类题演练 (Links)

1989-广东文-10 单-不等式的解集

1960-全国-06 解-方程组解为正数的条件

1986-广东文-08 单-集合的交集

∑ ( Math )

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