1993-新高考理-07 单-集合的包含关系

本题导读

本题考查集合的包含关系判定，以及整数集的性质与倍数特征。

📌【题干】

Question

（1993年新高考(理)） 集合 $M=\left\{x|x=\frac{k\pi }{2}+\frac{\pi }{4},k\in \mathbf{Z}\right\}$，$N=\left\{x|x=\frac{k\pi }{4}+\frac{\pi }{2},k\in \mathbf{Z}\right\}$，则 ()

A. $M=N$　　　　B. $M\supseteq N$　　　　　C. $M\subseteq N$　　　　　D. $M\cap N=\varnothing$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 第一步： 分别对集合 $M$ 和 $N$ 中的代表元素进行通分化简，使其具有相同的分母，便于对分子中的整数表达式进行直接比较。
2. 第二步： 观察通分后分子里关于参数 $k$ 的系数结构。分析 $M$ 的元素是否可以全部由 $N$ 的表达式通过特定整数代换来表示，以此确定两集合的隶属与包含关系。

✅【答案】

Success

C

✍【详细解析】

Abstract

解：对集合 $M$ 和 $N$ 的代表元素进行通分： 对于集合 $M$： $x=\frac{k\pi }{2}+\frac{\pi }{4}=\frac{2k\pi +\pi }{4}=\frac{(2k+1)\pi }{4}(k\in \mathbf{Z})$ 由此可知，集合 $M$ 中的元素是 $\frac{\pi }{4}$ 的奇数倍。

对于集合 $N$： $x=\frac{k\pi }{4}+\frac{\pi }{2}=\frac{k\pi +2\pi }{4}=\frac{(k+2)\pi }{4}(k\in \mathbf{Z})$ 因为 $k\in \mathbf{Z}$，所以 $k+2$ 可以取遍所有的整数（包括所有奇数和偶数）。

，任何一个奇数（ $2k+1$ ）都可以由整数（ $k+2$ ）在 $k$ 取特定值时得到。也就是说，集合 $M$ 中的所有元素都属于集合 $N$，而集合 $N$ 中还包含 $\frac{\pi }{4}$ 的偶数倍元素（如当 $k=0$ 时为 $\frac{\pi }{2}$，而不存在整数 $k$ 使得 $\frac{(2k+1)\pi }{4}=\frac{\pi }{2}$）。 故 $M$ 是 $N$ 的真子集，即 $M\subseteq N$。

故正确答案为：C

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点： 集合相等的判定及子集的概念，多以三角函数终边位置或含有参数的数集形式呈现。
2. 核心方法： 数轴/单位圆标点法。若遇到代数推导困难，可令 $k=-1,0,1,2$ 找出几个特殊元素。
   • $M$ 的点在单位圆上对应：$\frac{\pi }{4},\frac{3\pi }{4},\frac{5\pi }{4},\frac{7\pi }{4}$（共4个端点）。
   • $N$ 的点在单位圆上对应：$\frac{\pi }{2},\frac{3\pi }{4},\pi ,\frac{5\pi }{4},\frac{3\pi }{2},\frac{7\pi }{4},2\pi ,\frac{\pi }{4}$（共8个端点）。 直观可见 $M$ 中的点全部被 $N$ 所包含。
3. 避坑指南： 容易误认为两个集合中的 $k$ 为同一个物理量而盲目联立求解。必须明确，两个不同集合描述中的参数 $k$ 各自独立，均只代表任意整数。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源： 本题是由高一数学中“集合的含义与表示”与“终边相同的角”衍生出的经典交汇题，用以检测学生的数论基础（奇偶数集的包含关系）。
2. 结论推广： 设 $A=\{x|x=am+b,m\in \mathbf{Z}\}$，$B=\{x|x=cn+d,n\in \mathbf{Z}\}$。 若 $a$ 是 $c$ 的整数倍，且 $\frac{b-d}{c}\in \mathbf{Z}$，则必有 $A\subseteq B$。本题中 $\frac{\pi }{2}$ 是 $\frac{\pi }{4}$ 的 2 倍，且满足初相可平移转化，完全契合此推广结论。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 01.01 集合的含义、表示与基本运算

类题演练 (Links)

• 1988-广东文-04 单-集合的包含关系
• 1981-全国文-01 解-有理数集与无理数集的并交
• 1984-全国文-01 单-数集的相等关系