1992-全国卷理-25 解-两角和差公式求值

本题导读

本题考查两角和与差的正弦、余弦公式、同角三角函数的基本关系（平方关系）。核心在于拆角/拼角法（把 $2\alpha$ 拆为 $(\alpha +\beta )+(\alpha -\beta )$）、精确讨论定号法的灵活运用。

📌【题干】

Question

（1992年全国卷(理)） 已知 $\frac{\pi }{2}<\beta <\alpha <\frac{3\pi }{4}$， $\cos (\alpha -\beta )=\frac{12}{13}$， $\sin (\alpha +\beta )=-\frac{3}{5}$.求 $\sin 2\alpha$ 的值.

🔍【思路分析】

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1. 构造目标角：观察已知角 $(\alpha -\beta )$、 $(\alpha +\beta )$ 与目标角 $2\alpha$ 的逻辑关联，利用加减消元法可以构造出恒等式： $2\alpha =(\alpha +\beta )+(\alpha -\beta )$ 由此可知， $\sin 2\alpha =\sin [(\alpha +\beta )+(\alpha -\beta )]$。
2. 定号求配套三角值：
   • 已知 $\cos (\alpha -\beta )$，需要精确判定 $(\alpha -\beta )$ 的范围以求出 $\sin (\alpha -\beta )$ 的正负号；
   • 已知 $\sin (\alpha +\beta )$，需要精确判定 $(\alpha +\beta )$ 的范围以求出 $\cos (\alpha +\beta )$ 的正负号。
3. 公式展开计算：利用两角和的正弦公式 $\sin (x+y)=\sin x\cos y+\cos x\sin y$ 展开并代入数值。

✅【答案】

Success

$-\frac{56}{65}$

✍【详细解析】

Abstract

解： 第一步：精确判定角的范围并确定三角函数值

由已知条件，角度范围满足： $\frac{\pi }{2}<\beta <\alpha <\frac{3\pi }{4}$

1. 判定 $(\alpha -\beta )$ 的范围与求值： 因为 $\frac{\pi }{2}<\beta <\alpha <\frac{3\pi }{4}$，两式相减可得： $0<\alpha -\beta <\frac{3\pi }{4}-\frac{\pi }{2}⟹0<\alpha -\beta <\frac{\pi }{4}$ 即 $(\alpha -\beta )$ 是第一象限的锐角。 因此， $\sin (\alpha -\beta )>0$。

   由同角三角函数平方关系： $\sin (\alpha -\beta )=\sqrt{1-{\cos }^2(\alpha -\beta )}=\sqrt{1-{\left(\frac{12}{13}\right)}^2}=\sqrt{\frac{25}{169}}=\frac{5}{13}$

2. 判定 $(\alpha +\beta )$ 的范围与求值： 因为 $\frac{\pi }{2}<\beta <\frac{3\pi }{4}$ 且 $\frac{\pi }{2}<\alpha <\frac{3\pi }{4}$，将两式不等式相加得： $\frac{\pi }{2}+\frac{\pi }{2}<\alpha +\beta <\frac{3\pi }{4}+\frac{3\pi }{4}⟹\pi <\alpha +\beta <\frac{3\pi }{2}$ 即 $(\alpha +\beta )$ 是第三象限的角。 因此，其余弦值必为负，即 $\cos (\alpha +\beta )<0$。

   由同角三角函数平方关系： $\cos (\alpha +\beta )=-\sqrt{1-{\sin }^2(\alpha +\beta )}=-\sqrt{1-{\left(-\frac{3}{5}\right)}^2}=-\sqrt{\frac{16}{25}}=-\frac{4}{5}$

第二步：利用拼角技巧展开计算 $\sin 2\alpha$

根据角的拆分与组合特征，有： $2\alpha =(\alpha +\beta )+(\alpha -\beta )$

利用两角和的正弦公式将其展开： $\sin 2\alpha =\sin [(\alpha +\beta )+(\alpha -\beta )]$ $\sin 2\alpha =\sin (\alpha +\beta )\cos (\alpha -\beta )+\cos (\alpha +\beta )\sin (\alpha -\beta )$

将前面求得和已知的各三角函数值代入上式中： $\sin 2\alpha =\left(-\frac{3}{5}\right)\times \frac{12}{13}+\left(-\frac{4}{5}\right)\times \frac{5}{13}$ $\sin 2\alpha =-\frac{36}{65}-\frac{20}{65}=-\frac{56}{65}$

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：两角和的正弦公式（$2\alpha$ 的拆分），同角三角函数平方关系在非标准区间内的开方定号。
2. 核心方法：拼角法。在三角恒等变换中，诸如 $2\alpha =(\alpha +\beta )+(\alpha -\beta )$ 或 $2\beta =(\alpha +\beta )-(\alpha -\beta )$ 是极其高频且经典的拆角结构。
3. 避坑指南：范围讨论不够严密导致定号错误。本题的最大丢分点在于求 $\cos (\alpha +\beta )$ 时。许多考生仅根据 $\sin (\alpha +\beta )=-\frac{3}{5}<0$ 认为角可能在第三象限也可能在第四象限，从而轻率地写出 $\cos (\alpha +\beta )=\pm \frac{4}{5}$，导致最后算解出两个互为干扰的答案。必须严格通过将已知不等式相加得出 $\pi <\alpha +\beta <\frac{3\pi }{2}$，从而完美剔除第四象限的正数解。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：本题属于三角恒等变换板块的大题常客。直接取材于高中数学必修教材中“两角和与差的三角公式”一节的课后综合应用例题。
2. 结论推广：该模型的同类题型变体通常是求 $\cos 2\alpha$、 $\sin 2\beta$ 或 $\tan 2\alpha$。无论目标求什么，其解题内核都必须先走“范围缩放判定单象限 $⟹$ 平方公式求齐四项三角值”的标准化流程。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 10.02 倍角、降幂与升幂公式

类题演练 (Links)

• 1993-上海-21 解-二倍角与和角公式求值

• 1993-新高考文-24 解-三倍角公式的求值

• 1995-全国卷文-18 填-三角函数的和角化简与最值