1992-全国文-24 解-三角恒等变形求值

本题导读

本题考查三角恒等变形求值。核心在于降幂公式与和角公式的综合运用。

📌【题干】

Question

（1992年全国卷(文)） 求 ${\sin }^{2}20^{\circ }+{\cos }^{2}80^{\circ }+\sqrt{3}\sin 20^{\circ }\cos 80^{\circ }$ 的值.

🔍【思路分析】

破题导航

降幂后配和角公式：${\sin }^{2}20^{\circ }=\frac{1-\cos 40^{\circ }}{2}$，${\cos }^{2}80^{\circ }=\frac{1+\cos 160^{\circ }}{2}$，$\sqrt{3}\sin 20^{\circ }\cos 80^{\circ }=\frac{\sqrt{3}}{2}(\sin 100^{\circ }-\sin 60^{\circ })$。

✅【答案】

Success

$\frac{1}{4}$

✍【详细解析】

Abstract

由降幂公式 ${\sin }^{2}20^{\circ }=\frac{1-\cos 40^{\circ }}{2}$，${\cos }^{2}80^{\circ }=\frac{1+\cos 160^{\circ }}{2}$，相加得 $1+\frac{\cos 160^{\circ }-\cos 40^{\circ }}{2}$。由和差化积 $\cos 160^{\circ }-\cos 40^{\circ }=-2\sin 100^{\circ }\sin 60^{\circ }=-\sqrt{3}\sin 100^{\circ }$，故前两项和为 $1-\frac{\sqrt{3}}{2}\sin 100^{\circ }$。又 $\sqrt{3}\sin 20^{\circ }\cos 80^{\circ }=\frac{\sqrt{3}}{2}\left[\sin 100^{\circ }+\sin (-60^{\circ })\right]=\frac{\sqrt{3}}{2}\sin 100^{\circ }-\frac{3}{4}$。两项相加，$\sin 100^{\circ }$ 项抵消，原式 $=1-\frac{3}{4}=\frac{1}{4}$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：三角恒等变形求值

核心方法：${\sin }^{2}20^{\circ }+{\cos }^{2}80^{\circ }+\sqrt{3}\sin 20^{\circ }\cos 80^{\circ }=\frac{1}{4}$

避坑指南：降幂配和角或直接用公式

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：源于三角求值

结论推广：降幂配和角公式

方法推广：结构相似用恒等变形

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 10.02 倍角、降幂与升幂公式

类题演练 (Links)

• 1993-上海-21 解-二倍角与和角公式求值
• 1993-新高考文-24 解-三倍角公式的求值
• 1995-全国卷文-18 填-三角函数的和角化简与最值