1992-三南-05 单-点到直线的距离

本题导读

本题考查长方体中点到直线的距离，以及坐标法与向量叉积的应用。

📌【题干】

Question

（1992年三南） 在长方体 $ABCD-A_1{B}_1{C}_1{D}_1$ 中，如果 $AB=BC=a$，$A{A}_1=2a$，那么点 $A$ 到直线 $A_{1}C$ 的距离等于 ()

A. $\frac{2\sqrt{6}}{3}a$　　　　　　　　B. $\frac{3\sqrt{6}}{2}a$　　　　　　　　C. $\frac{2\sqrt{3}}{3}a$　　　　　　　　D. $\frac{\sqrt{6}}{3}a$

🔍【思路分析】

破题导航

取 $A$ 为原点，$A_1=(0,0,2a)$，$C=(a,a,0)$，方向向量 $\mathbf{v}=(a,a,-2a)$，距离 $d=\frac{|\overrightarrow{A_{1}A}\times \mathbf{v}|}{|\mathbf{v}|}=\frac{2\sqrt{3}}{3}a$。

✅【答案】

Success

C

✍【详细解析】

Abstract

取 $A$ 为原点，令 $AB,BC,A{A}_1$ 分别沿三个坐标轴正向，则 $A_1=(0,0,2a)$，$C=(a,a,0)$。直线 $A_{1}C$ 的方向向量可取 $\mathbf{v}=(a,a,-2a)$，而 $\overrightarrow{A_{1}A}=(0,0,-2a)$。由点到直线的距离公式 $d=\frac{|\overrightarrow{A_{1}A}\times \mathbf{v}|}{|\mathbf{v}|}$，其中 $\overrightarrow{A_{1}A}\times \mathbf{v}=(-2a^2,2a^2,0)$，模为 $2\sqrt{2}{a}^2$，$|\mathbf{v}|=\sqrt{a^2+a^2+4a^2}=\sqrt{6}a$，故 $d=\frac{2\sqrt{2}{a}^2}{\sqrt{6}a}=\frac{2\sqrt{3}}{3}a$，选 C。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：点到直线的距离

核心方法：$\mathbf{v}=(a,a,-2a)$，$d=\frac{|\overrightarrow{A_{1}A}\times \mathbf{v}|}{|\mathbf{v}|}=\frac{2\sqrt{3}}{3}a$

避坑指南：向量叉积求点线距

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：长方体点线距离，坐标法经典应用

结论推广：点到直线距离 $d=\frac{|\overrightarrow{AP}\times \vec{v}|}{|\vec{v}|}$

方法推广：坐标法叉积

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 21.04 空间向量求距离

类题演练 (Links)

• 1993-旧高考文-27 解-直三棱柱的线线平行与点到直线的距离
• 1992-全国文-18 单-长方体的对角线
• 1993-新高考文-09 单-圆上点到直线的距离最值