1991-全国卷理-14 单-圆上的点到直线距离

本题导读

本题考查圆的一般式方程与标准方程，以及点到直线的距离公式。

📌【题干】

Question

（1991年全国卷(理)） 圆 $x^2+2x+y^2+4y-3=0$ 上到直线 $x+y+1=0$ 的距离为 $\sqrt{2}$ 的点共有 ()

A. 1 个　　　　　　　B. 2 个　　　　　　　C. 3 个　　　　　　　D. 4 个

🔍【思路分析】

破题导航

1. 求圆心与半径：将圆的一般式方程通过配方法化为标准方程，找出圆心坐标 $M$ 和半径 $R$。
2. 计算圆心距：利用点到直线的距离公式，求出圆心 $M$ 到已知直线 $l:x+y+1=0$ 的距离 $d$。
3. 数量判定：对比 $d$ 与 $R$ 的大小，确定直线与圆的位置关系：
   • 寻找圆上到直线距离为 $t$ 的点：若直线平移 $t$ 后与圆相交，则交点即为所求。
   • 具体分析 $d-t$ 与 $d+t$ 落在 $[0,R]$ 之间的范围，从而判定点的个数。

✅【答案】

Success

C

✍【详细解析】

Abstract

首先将圆的一般式方程化为标准方程： $(x^2+2x+1)+(y^2+4y+4)=3+1+4$ $(x+1{)}^2+(y+2{)}^2=8$

由此可知，该圆的圆心为 $M(-1,-2)$，半径 $R=\sqrt{8}=2\sqrt{2}$。

利用点到直线的距离公式，计算圆心 $M(-1,-2)$ 到直线 $x+y+1=0$ 的距离 $d$： $d=\frac{|-1+(-2)+1|}{\sqrt{1^2+1^2}}=\frac{|-2|}{\sqrt{2}}=\sqrt{2}$

因为 $d=\sqrt{2}<2\sqrt{2}=R$，所以直线与圆相交。

为了寻找圆上到直线距离为 $\sqrt{2}$ 的点，可以将已知直线沿其法方向向两侧分别平移 $\sqrt{2}$ 的距离，得到两条平行线 $l_1$ 和 $l_2$：

1. 向圆心方向平移 $\sqrt{2}$：此时平行线恰好经过圆心 $M$，因为圆心到该平行线的距离为 0，而圆心到圆周的距离为 $R=2\sqrt{2}$。该直线与圆必有两个交点，这两个交点到已知直线的距离均为 $\sqrt{2}$。
2. 向远离圆心方向平移 $\sqrt{2}$：此时该平行线与已知直线的距离为 $\sqrt{2}$，由于已知直线到圆心的距离为 $\sqrt{2}$，故该平行线到圆心的距离为 $d+\sqrt{2}=\sqrt{2}+\sqrt{2}=2\sqrt{2}$。 因为 $2\sqrt{2}=R$，所以这条平行线恰好与圆相切，只有一个切点。该切点到已知直线的距离也为 $\sqrt{2}$。

综上所述，圆上到已知直线距离为 $\sqrt{2}$ 的点共有 $2+1=3$ 个。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：圆上的点到已知直线的最大距离为 $d+R$，最小距离为：当直线与圆相交时最小距离为 0，当直线与圆相离时最小距离为 $d-R$。
2. 核心方法：几何分析法。若求圆上到直线距离为 $t$ ($t>0$) 的点的个数：
   • 若 $d-t>R$ 或 $d+t<-R$（不贴切，通常写成 $t$ 的绝对范围），更通俗的表述为：
   • 观察 $t$ 与 $R-d$ 及 $R+d$ 的关系：
     • 当 $0<t<R-d$ 时，有 4 个点；
     • 当 $t=R-d$ 时，有 3 个点；
     • 当 $R-d<t<R+d$ 时，有 2 个点；
     • 当 $t=R+d$ 时，有 1 个点；
     • 当 $t>R+d$ 时，有 0 个点。
3. 避坑指南：容易不加计算凭直觉选择 2 个（误以为只有一侧有交点）或 4 个（误以为两侧都各有两个交点）。应确计算出 $d$ 和 $R$ 的数值，通过具体的数形结合得出正确答案。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：本题属于平面解析几何中“直线与圆的位置关系”的基本变形题，由教材中“求圆上的点到直线距离的最值”这一经典问题延伸而来。
2. 结论推广：已知圆心到直线的距离为 $d$，圆的半径为 $R$，且满足 $d<R$（即直线与圆相交）。则圆上到该直线距离等于 $R-d$ 的点恰好有 3 个。本题中 $R=2\sqrt{2}$， $d=\sqrt{2}$，所求距离 $t=\sqrt{2}$ 恰好满足 $t=R-d$，故结论直接为 3 个。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 17.05 直线与圆的位置关系

类题演练 (Links)

• 1993-新高考文-09 单-圆上点到直线的距离最值
• 1992-全国卷理-14 单-异面直线所成的角
• 1995-上海理-16 填-极坐标方程化直角坐标方程