1991-上海-15 单-三角恒等式的真假判断

本题导读

本题考查三角恒等式与存在性命题真假的判断。

📌【题干】

Question

（1991年上海卷） 下列四个命题中的假命题是()

A. 存在这样的 $\alpha$ 和 $\beta$ 的值，使得 $\cos (\alpha +\beta )=\cos \alpha \cos \beta +\sin \alpha \sin \beta$

B. 不存在无穷多个 $\alpha$ 和 $\beta$ 的值，使得 $\cos (\alpha +\beta )=\cos \alpha \cos \beta +\sin \alpha \sin \beta$

C. 对于任意的 $\alpha$ 和 $\beta$，$\cos (\alpha +\beta )=\cos \alpha \cos \beta -\sin \alpha \sin \beta$

D. 不存在这样的 $\alpha$ 和 $\beta$ 的值，使得 $\cos (\alpha +\beta )\ne \cos \alpha \cos \beta -\sin \alpha \sin \beta$

🔍【思路分析】

破题导航

注意 $\cos (\alpha +\beta )=\cos \alpha \cos \beta -\sin \alpha \sin \beta$ 是恒等式，而 $\cos (\alpha -\beta )=\cos \alpha \cos \beta +\sin \alpha \sin \beta$。

✅【答案】

Success

B

✍【详细解析】

Abstract

$\cos (\alpha -\beta )=\cos \alpha \cos \beta +\sin \alpha \sin \beta$ 恒成立，故 $\cos (\alpha +\beta )=\cos \alpha \cos \beta +\sin \alpha \sin \beta$ 当 $\beta$ 取 $-\beta$ 时也恒成立（对任意 $\beta$ 都成立），所以 B”不存在无穷多个”是假命题。故选 B

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：三角恒等式的真假判断

核心方法：逐项检验三角恒等式与存在性命题的真假。

避坑指南：命题真假判断

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：三角恒等式要区分恒成立与存在性。

结论推广：cos(α+β)=cosαcosβ−sinαsinβ 恒成立。

方法推广：注意”存在”与”任意”

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 10.01 两角和与差及辅助角公式

类题演练 (Links)

• 1993-新高考文-08 单-三角恒等变形求值
• 1996-全国卷文-22 解-三角形的角与三角恒等变形
• 1992-全国文-24 解-三角恒等变形求值