1990-广东文-27 填-多项式展开式的系数

本题导读

本题考查多项式展开式中指定次项的系数，以及逐项累加。

📌【题干】

Question

（1990年广东卷(文)） $(x-1)-(x-1{)}^2+(x-1{)}^3-(x-1{)}^4$ 的展开式中，$x^2$ 的系数等于　$\underline{}$.

🔍【思路分析】

破题导航

逐项求各 $(x-1{)}^k$ 展开式中 $x^2$ 的系数再求和。

✅【答案】

Success

$-10$

✍【详细解析】

Abstract

$(x-1{)}^k$ 展开式中 $x^2$ 的系数为 ${\mathrm{C}}_k^2(-1{)}^{k-2}$。逐项：$(x-1)$ 中 $x^2$ 系数为 0；$-(x-1{)}^2$ 中为 $-1$；$+(x-1{)}^3$ 中为 ${\mathrm{C}}_3^2(-1)=-3$；$-(x-1{)}^4$ 中为 $-{\mathrm{C}}_4^2(-1{)}^2=-6$。合计 $0-1-3-6=-10$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：多项式展开式的系数

核心方法：展开多项式求 x² 的系数。

避坑指南：多项式系数

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：展开式逐项求 x² 系数。

结论推广：(x−1)^k 的 x² 系数。

方法推广：逐项累加

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 22.03 二项式定理全总结

类题演练 (Links)

• 1990-全国文-17 填-多项式展开式的系数
• 1992-上海-02 填-二项式展开指定项系数
• 1993-新高考文-13 单-两个二项式乘积的指定项系数