1990-全国卷理-24 解-复数方程的分类讨论

本题导读

本题考查复数的代数形式与基本概念、复数的模及其性质，涉及待定系数法、分类讨论法。

📌【题干】

Question

（1990年全国卷(理)） 设 $a\ge 0$，在复数集 $\mathbf{C}$ 中解方程：$z^2+2|z|=a$.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 代数设元：设未知复数 $z=x+y\text{i}$（$x,y\in \mathbf{R}$），则有 $|z|=\sqrt{x^2+y^2}$ 且 $z^2=x^2-y^2+2xy\text{i}$．
2. 列出实数方程组：将代数式代入原方程，根据方程两边实部与虚部对应相等的充要条件，列出关于 $x$ 和 $y$ 的联立方程组。
3. 分类讨论求解：
   • 由虚部对应关系得 $2xy=0$，从而引出 $y=0$（实数根）或 $x=0$（纯虚数根或零）两种情况。
   • 分别将这两种情况代入实部方程中，结合条件 $a\ge 0$ 以及 $x,y$ 的实数范围进行筛选。

✅【答案】

Success

当 $0\le a\le 1$ 时，$z=\pm (-1+\sqrt{a+1})$，$z=\pm (1+\sqrt{1-a})\mathrm{i}$，$z=\pm (1-\sqrt{1-a})\mathrm{i}$；当 $a>1$ 时，$z=\pm (-1+\sqrt{a+1})$

✍【详细解析】

Abstract

解：设所求复数为 $z=x+y\text{i}$，其中 $x,y\in \mathbf{R}$． 则 $|z|=\sqrt{x^2+y^2}$，且 $z^2=x^2-y^2+2xy\text{i}$．

将它们代入原方程 $z^2+2|z|=a$，得： $x^2-y^2+2xy\text{i}+2\sqrt{x^2+y^2}=a$

整理得： $\left(x^2-y^2+2\sqrt{x^2+y^2}\right)+2xy\text{i}=a+0\text{i}$

根据复数相等的充要条件，可得实数方程组： $\{\begin{array}{ll}{x}^2-y^2+2\sqrt{x^2+y^2}=a& \text{(1)}\\ 2xy=0& \text{(2)}\end{array}$

由方程②得 $x=0$ 或 $y=0$．下面分两种情况进行讨论：

情况一：当 $y=0$ 时 此时 $z=x$ 为实数，则 $|z|=|x|$．代入方程①得： $x^2+2|x|=a⟹|x{|}^2+2|x|-a=0$

视 $|x|$ 为整体，解此关于 $|x|$ 的一元二次方程。由于 $a\ge 0$，判别式 $\Delta =4-4(1)(-a)=4(1+a)>0$． 解得： $|x|=\frac{-2\pm \sqrt{4+4a}}{2}=-1\pm \sqrt{1+a}$

因为 $|x|\ge 0$ 且 $\sqrt{1+a}\ge 1$（由 $a\ge 0$ 决定），所以负根应舍去，保留正根： $|x|=\sqrt{1+a}-1$

由此解得 $x$ 值为： $x=\pm \left(\sqrt{1+a}-1\right)$ 此时方程的实数解为：$z=\pm \left(\sqrt{1+a}-1\right)$．

情况二：当 $x=0$ 时 此时 $z=y\text{i}$，$|z|=|y|$．代入方程①得： $-y^2+2|y|=a⟹|y{|}^2-2|y|+a=0$

解此关于 $|y|$ 的一元二次方程，其判别式为 $\Delta =(-2{)}^2-4(1)(a)=4-4a=4(1-a)$． 要使实数 $y$ 有解，必须满足 $\Delta \ge 0⟹4(1-a)\ge 0⟹a\le 1$． 结合已知条件 $a\ge 0$，此种情况仅在 $0\le a\le 1$ 时存在实数解。

在 $0\le a\le 1$ 的前提下，解得： $|y|=\frac{2\pm \sqrt{4-4a}}{2}=1\pm \sqrt{1-a}$ 因为 $0\le a\le 1$，所以 $0\le \sqrt{1-a}\le 1$，可得 $1\pm \sqrt{1-a}\ge 0$ 恒成立，两根均合乎题意。 由此解得 $y$ 值为： $y=\pm \left(1\pm \sqrt{1-a}\right)$ 此时方程的虚数解为：$z=\pm \left(1\pm \sqrt{1-a}\right)\text{i}$．

综上：

• 当 $a>1$ 时，方程共有 2 个实数解： $z=\pm \left(\sqrt{1+a}-1\right)$
• 当 $0\le a\le 1$ 时，方程共有 4 个解（2 个实数解，2 个虚数解）： $z=\pm \left(\sqrt{1+a}-1\right)\text{或}z=\pm \left(1\pm \sqrt{1-a}\right)\text{i}$

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：复数的代数形式拆分，复数方程向实数方程组的转化，含参一元二次方程根的分布及存在性条件。
2. 核心方法：
   • 代数设元法：设 $z=x+y\text{i}$，将复数运算化为实数运算，是求解此类复数方程的一般方法。
   • 模长特征分析法：注意到原方程中 $2|z|$ 和 $a$ 均为实数，故 $z^2=a-2|z|$ 必须为实数。由 $z^2\in \mathbf{R}$ 可直接推知 $z$ 为实数或纯虚数，从而可以直接省去方程②的推导步骤，直接切入分类讨论。
3. 避坑指南：
   • 漏掉解的存在性条件：在讨论 $x=0$ 的分支时，容易忽略一元二次方程必须有实数根（$\Delta \ge 0$）这一条件。若不对 $a>1$ 和 $0\le a\le 1$ 分段，会导致答案扩大。
   • 忘记检验绝对值非负：求出 $|x|$ 或 $|y|$ 的代数表达式后，必须检验其是否满足 $\ge 0$。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：本题为 1990 年全国卷(理)第 24 题，考查复数的代数形式、模的性质及复数相等的充要条件，并涉及分类讨论思想。
2. 结论推广：对于形如 $z^2+2\lambda |z|=A$（$\lambda ,A\in \mathbf{R}$）的方程，可设 $z=x+y\text{i}$ 转化为实部、虚部方程组，再按 $x=0$ 或 $y=0$ 分类讨论求解，处理方法与本题相同。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 12.01 数系的扩充与复数

类题演练 (Links)

• 1992-全国卷理-24 解-复数方程的求解
• 1992-三南-28 解-复数的整数解
• 1992-全国文-25 解-复数方程与模