1990-全国卷理-18 填-数列的极限

本题导读

本题考查等差数列的通项公式与前 $n$ 项和公式，以及数列极限的计算。

📌【题干】

Question

（1990年全国卷(理)） 已知 $\{a_n\}$ 是公差不为零的等差数序列，如果 $S_n$ 是 $\{a_n\}$ 的前 $n$ 项的和，那么 ${\lim }_{n\to \infty }\frac{n{a}_n}{S_n}$ 等于$\underline{}$.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 写出通项与和的代数式：设等差数列 $\{a_n\}$ 的首项为 $a_1$，公差为 $d$ ($d\ne 0$)．根据公式写出 $a_n$ 与 $S_n$ 关于 $n$ 的多项式。
2. 化简目标分式：将 $n{a}_n$ 与 $S_n$ 的多项式代入分式 $\frac{n{a}_n}{S_n}$ 中，将其整理为关于 $n$ 的二次多项式比值的形式。
3. 求极限值：当 $n\to \infty$ 时，由于分子和分母都是关于 $n$ 的二次多项式，其极限值等于最高次项（$n^2$ 项）的系数之比。

✅【答案】

Success

$2$

✍【详细解析】

Abstract

解：设等差数列 $\{a_n\}$ 的首项为 $a_1$，公差为 $d$．因为公差不为零，所以 $d\ne 0$． 根据等差数列的性质，其通项公式为： $a_n=a_1+(n-1)d=d\cdot n+(a_1-d)$

前 $n$ 项和公式为： $S_n=n{a}_1+\frac{n(n-1)}{2}d=\frac{d}{2}{n}^2+\left(a_1-\frac{d}{2}\right)n$

将其代入待求极限的式子中： $\frac{n{a}_n}{S_n}=\frac{n\left[d\cdot n+(a_1-d)\right]}{\frac{d}{2}{n}^2+\left(a_1-\frac{d}{2}\right)n}=\frac{d\cdot n^2+(a_1-d)n}{\frac{d}{2}{n}^2+\left(a_1-\frac{d}{2}\right)n}$

分子、分母同除以 $n^2$，得： ${\lim }_{n\to \infty }\frac{n{a}_n}{S_n}={\lim }_{n\to \infty }\frac{d+\frac{a_1-d}{n}}{\frac{d}{2}+\frac{a_1-\frac{d}{2}}{n}}$

当 $n\to \infty$ 时， $\frac{a_1-d}{n}\to 0$， $\frac{a_1-\frac{d}{2}}{n}\to 0$． 又因为 $d\ne 0$，所以： ${\lim }_{n\to \infty }\frac{n{a}_n}{S_n}=\frac{d}{\frac{d}{2}}=2$

填空答案为：2

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：等差数列的核心公式，分式型多项式数列极限的求法（抓最高次项系数）。
2. 核心方法：
   • 公式代入化简法：引入基本元 $a_1$ 和 $d$，将离散的数列项彻底转化为连续变量特征的 $n$ 的多项式函数，直接进行标准极限运算。
   • 特殊值法法）：由于题目中结论对任意公差不为零的等差数列均成立，可令 $a_1=1,d=1$，则 $a_n=n$，$S_n=\frac{n(n+1)}{2}$．此时 ${\lim }_{n\to \infty }\frac{n\cdot n}{\frac{n(n+1)}{2}}={\lim }_{n\to \infty }\frac{2n^2}{n^2+n}=2$。这种方法非常适用于高考填空题。
3. 避坑指南：
   • 必须注意题干中 “公差不为零” 这一条件。若 $d=0$，则数列为常数列 $a_n=a_1$ ($a_1\ne 0$)，此时 $S_n=n{a}_1$，原式恒等于 $\frac{n{a}_1}{n{a}_1}=1$，极限为 $1$。由于本题限定 $d\ne 0$，故最高次项由 $n$ 升阶为了 $n^2$，极限变为 $2$。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：本题属于典型的跨章节交汇题，将数列的代数结构与极限的趋向性融合，源自教材中对“数列在无穷远处的增长速度”问题的探讨。
2. 结论推广：等差数列中 $a_n$ 关于 $n$ 是线性增长的（即 $O(n)$ 阶），而 $S_n$ 作为累加和，关于 $n$ 是二次方增长的（即 $O(n^2)$ 阶）。 进一步推广可得，对于任意等差数列（$d\ne 0$），若要求 ${\lim }_{n\to \infty }\frac{n^k{a}_n^k}{S_n^k}$，其极限结果恒为 $2^k$；若要求类似于 ${\lim }_{n\to \infty }\frac{S_{2n}}{S_n}$ 的极限，则可直接通过最高次项系数比值求得为 $\frac{\frac{d}{2}(2n{)}^2}{\frac{d}{2}{n}^2}=4$。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 19.04 数列求和核心方法与裂项模型

类题演练 (Links)

• 1991-三南-22 填-数列的极限
• 1992-三南-21 填-裂项相消与数列极限
• 1991-全国卷理-12 单-数列极限的求解