1990-上海卷-24 解-数列极限的求解

本题导读

本题考查点到直线的距离公式、圆的弦长公式、直线与抛物线相交的弦长，以及数列极限的计算。

📌【题干】

Question

（1990年上海卷） 已知直线 $L:x-ny=0,(n\in \mathbf{N})$；圆 $M:(x+1{)}^2+(y+1{)}^2=1$；抛物线 $\Phi :y=(x-1{)}^2$.又 $L$ 与 $M$ 交于点 $A,B$； $L$ 与 $\Phi$ 交于点 $C,D$.求 ${\lim }_{n\to \infty }\frac{|AB{|}^2}{|CD{|}^2}$.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 求 $|AB{|}^2$：圆 $M$ 圆心 $(-1,-1)$、半径 $1$，用点到直线距离公式求圆心到 $L$ 的距离 $d$，由垂径定理 $|AB{|}^2=4(1-d^2)$。
2. 求 $|CD{|}^2$：联立 $L$ 与抛物线 $\Phi$，消 $y$ 得关于 $x$ 的一元二次方程，由韦达定理和弦长公式 $|CD{|}^2=(1+k^2)(x_1-x_2{)}^2$。
3. 把 $|AB{|}^2$、$|CD{|}^2$ 代入，分子分母同除以最高次项求极限。

✅【答案】

Success

$2$

✍【详细解析】

Abstract

一、求圆的弦长平方 $|AB{|}^2$ 由圆 $M:(x+1{)}^2+(y+1{)}^2=1$，圆心为 $M(-1,-1)$，半径 $R=1$。

圆心 $M$ 到直线 $L:x-ny=0$ 的距离为： $d=\frac{|-1-n(-1)|}{\sqrt{1^2+(-n{)}^2}}=\frac{|n-1|}{\sqrt{n^2+1}}$

由垂径定理： ${\left(\frac{|AB|}{2}\right)}^2=R^2-d^2⟹|AB{|}^2=4(R^2-d^2)$

代入： $|AB{|}^2=4\left[1-{\left(\frac{n-1}{\sqrt{n^2+1}}\right)}^2\right]=4\left[1-\frac{n^2-2n+1}{n^2+1}\right]$ 通分化简： $|AB{|}^2=4\cdot \frac{(n^2+1)-(n^2-2n+1)}{n^2+1}=\frac{8n}{n^2+1}\text{(1)}$

二、求抛物线的弦长平方 $|CD{|}^2$ 联立： $\{\begin{array}{l}x=ny\\ y=(x-1{)}^2\end{array}$ 代入消去 $y$： $\frac{x}{n}=x^2-2x+1$ 两边乘 $n$（$n\in \mathbf{N}$，$n>0$）： $n{x}^2-(2n+1)x+n=0\text{(2)}$

设交点 $C,D$ 的横坐标为 $x_1,x_2$，由韦达定理： $x_1+x_2=\frac{2n+1}{n},x_1{x}_2=1$

横坐标差的平方： $(x_1-x_2{)}^2=(x_1+x_2{)}^2-4x_1{x}_2={\left(\frac{2n+1}{n}\right)}^2-4=\frac{4n^2+4n+1}{n^2}-4=\frac{4n+1}{n^2}$

直线 $L:y=\frac{1}{n}x$，斜率 $k=\frac{1}{n}$，由弦长公式： $|CD{|}^2=(1+k^2)(x_1-x_2{)}^2=\left(1+\frac{1}{n^2}\right)\cdot \frac{4n+1}{n^2}=\frac{n^2+1}{n^2}\cdot \frac{4n+1}{n^2}=\frac{(n^2+1)(4n+1)}{n^4}\text{(3)}$

三、求极限 代入目标式： $\frac{|AB{|}^2}{|CD{|}^2}=\frac{\frac{8n}{n^2+1}}{\frac{(n^2+1)(4n+1)}{n^4}}=\frac{8n}{n^2+1}\times \frac{n^4}{(n^2+1)(4n+1)}=\frac{8n^5}{(n^2+1{)}^2(4n+1)}$

展开分母： $(n^2+1{)}^2(4n+1)=(n^4+2n^2+1)(4n+1)=4n^5+n^4+8n^3+2n^2+4n+1$

所以： $\frac{|AB{|}^2}{|CD{|}^2}=\frac{8n^5}{4n^5+n^4+8n^3+2n^2+4n+1}$

分子、分母同除以 $n^5$： ${\lim }_{n\to \infty }\frac{|AB{|}^2}{|CD{|}^2}={\lim }_{n\to \infty }\frac{8}{4+\frac{1}{n}+\frac{8}{n^2}+\frac{2}{n^3}+\frac{4}{n^4}+\frac{1}{n^5}}$

当 $n\to \infty$ 时，含 $\frac{1}{n}$ 的各项趋于 0： ${\lim }_{n\to \infty }\frac{|AB{|}^2}{|CD{|}^2}=\frac{8}{4}=2$

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：垂径定理、韦达定理、弦长公式 $|AB|=\sqrt{1+k^2}|x_1-x_2|$、数列极限的计算。
2. 核心方法：圆用几何法（半径、弦心距、半弦构成的直角三角形），抛物线用代数法（联立方程配合韦达定理）；求极限时看分子分母最高次项。
3. 避坑指南：
   • 消元选错变量：若消 $x$ 用 $y$ 计算，会得到 $n^2{y}^2-(2n+1)y+1=0$，后续弦长公式变形容易出错。本题直线是 $x=ny$，消 $y$ 保留 $x$ 较方便。
   • 漏掉弦长公式的 $(1+k^2)$ 系数：容易把 $|CD{|}^2$ 误写成 $(x_1-x_2{)}^2$，漏掉 $\left(1+\frac{1}{n^2}\right)$，导致极限算错。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：本题为解析几何与数列极限结合的综合题。
2. 结论推广：当 $n\to \infty$ 时，直线 $L:y=\frac{1}{n}x$ 的斜率趋于 0，$L$ 趋近于 $x$ 轴。此时 $|AB{|}^2=\frac{8n}{n^2+1}\sim \frac{8}{n}$，$|CD{|}^2=\frac{(n^2+1)(4n+1)}{n^4}\sim \frac{4}{n}$，两者都以 $\frac{1}{n}$ 的速度趋于 0，比值的极限为 $\frac{8}{4}=2$。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 19.04 数列求和核心方法与裂项模型

类题演练 (Links)

• 1991-三南-22 填-数列的极限
• 1992-三南-21 填-裂项相消与数列极限
• 1991-全国卷理-12 单-数列极限的求解